Residylaskenta

Residylaskenta on tekniikka, jolla voidaan laskea polkuintegraaleja. Tekniikassa käytetään hyödyksi Laurentin sarjaa.

Matemaattinen kuvaus

Tehtävänä on laskea integraali $\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz$, missä $\mathrm{\Gamma }$ on yksinkertainen suljettu positiivisesti suunnattu ääriviiva ja $f(z)$ on analyyttinen $\mathrm{\Gamma }$:ssa lukuun ottamatta yksittäistä sisäpuolista pistettä $z_0$. Tällöin funktio $f(z)$ voidaan esittää Laurentin sarjana

$f(z)=\sum _{j=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_j(z-z_0{)}^j$.

Tästä integraalin arvoksi saadaan

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)dz=2\pi i{a}_{-1}$.

Tässä kerrointa $a_{-1}$ kutsutaan funktion $f$ residyksi pisteessä $z_0$ ja sitä merkitään $Res(f;z_0)$ tai lyhyemmin $Res(z_0)$.

Esimerkki

Tarkastellaan funktiota $f(z)=z{e}^{3/z}$ ja lasketaan sille polkuintegraali $\underset{,|z|=4}{\int }z{e}^{3/z}dz$ pitkin ympyrän kehää $|z|=4$.

Ratkaisu: Tiedetään, että funktiolla on residy $Res(z_0)$ pisteessä $z=0$. Funktiolla $e^{\omega }$ on Taylorin sarja $e^{\omega }=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\omega }^j}{j!}$. Tästä saadaan Laurentin sarjaksi funktiolle $z{e}^{3/z}$ pisteen $z=0$ ympäristössä

$z{e}^{3/z}=z\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{j!}{\left(\frac{3}{z}\right)}^j=z+3+\frac{3^2}{2!}{z}^{-1}+\frac{3^3}{3!}{z}^{-2}+\cdots$.

Tällöin $Res(0)=\frac{3^2}{2!}=\frac{9}{2}$.

Koska piste $z=0$ on funktion $f(z)$ ainoa nollakohta ympyrän $|z|=4$ sisällä, saadaan integraalin arvoksi $\underset{,|z|=4}{\int }z{e}^{3/z}dz=2\pi i\frac{9}{2}=9\pi i$.

Lähteet

• Saff, Edward B. & Snider, Arthur D.: Fundamentals of Complex Analysis: Engineering, Science, and Mathematics, Pearson 3. painos

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite
• Malline:Kirjaviite
• Malline:Kirjaviite