Pyörähdyskappale

Käyrän pyörähtäessä syntyvä pyörähdys­kappale ja sitä rajoittava pyörähdys­pinta

Monet astiat, esimerkiksi tavallinen puna­viini­lasi, ovat muodoltaan pyörähdys­kappaleita.

Pyörähdys­kappale on kolmi­ulotteinen kappale, jonka voidaan ajatella syntyvän jonkin käyrän rajoittaman tasoalueen pyörähtäessä avaruudessa jonkin kiinteän suoran, akselin ympäri.

Yksinkertaisimpia pyörähdys­kappaleita ovat lieriö ja kartio. Lieriö syntyy kahden suoran välisen alueen pyörähtäessä toisen suoran ympäri, kartio taas janan pyörähtäessä sen toisen pääte­pisteen kautta kulkevan suoran ympäri. Ympyrän pyörähtäessä halkaisijansa ympäri syntyy pyörähdyskappaleena pallo. Jos ympyrä pyörähtää kokonaan sen ulko­puolella olevan suoran ympäri, saadaan renkaan tai munkkirinkelin muotoinen, toruspinnan rajoittama kappale. Ellipsin pyörähtäessä isoakselinsa ympäri syntyy pyörähdysellipsoidi.

Käytännössä pyörähdys­kappaleita ovat muodoltaan monet astiat sekä yleensä sorvin avulla valmistetut esineet.

Pyörähdyskappaleet ovat symmetrisiä kaikkien akselin ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen. Niiden poikki­leikkaus akselia vastaan kohti­suorilla tasoilla on ympyrä.

Pyörähdyskappaleen rajapinta on pyörähdyspinta.

Tilavuus

Mikäli pyörähtävää aluetta rajoittava käyrä voidaan esittää jonkin funktion kuvaajana, voidaan pyörähdys­kappaleen tilavuus määrittää integraalilaskennan avulla. Oletetaan, että f on välillä [a,b] jatkuva positiivinen funktio ja että pyörähtävää aluetta A rajoittavat käyrä y = f(x) sekä suorat y=0, x=a ja y=b. Tällöin alueen A pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyy pyörähdys­kappale, johon kuuluvat pisteet (x,y,z) toteuttavat epäyhtälöt

$a<x<b$

$x^2+y^2<f(x{)}^2$

Tämän pyörähdyskappaleen tilavuus on

$\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x{)}^{2}dx$.

Korkeammissa ulottuvuuksissa

Jos käyrä y=f(x) pyörähtää x-akselin ympäri (n+1)-ulotteisessa avaruudessa, on x-akseli kohtisuoraan n-ulotteista avaruutta vastaan, jolloin jokainen käyrän piste rajaa n-ulotteisen pallon tilavuuden. Tämän pyörähdyskappaleen tilavuus on

$\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x{)}^{n}dx$

Missä $\mathrm{\Gamma }$ on gammafunktio.

Pyörähtääkseen on kappaleen kunkin pisteen rajattava pallopinta. Tämän pallopinnan ulottuvuudet määräävät ne koordinaattiakselit, jotka ovat kohtisuorassa pyörähdyksen akselia vastaan. Esimerkiksi kun käyrä $y=f(x)$ pyörähtää $x,y,z$-avaruudessa x-akselin ympäri, rajaa jokainen sen piste $y,z$-tason suuntaisen ympyrän. Tästä seuraa, että n-ulotteisessa avaruudessa pyörähdyksen akselin ei välttämättä ole oltava suora, vaan se voi olla enintään $(n-2)$-ulotteinen. Esimerkiksi $x,y,z,w$-avaruudessa $x,y$-tason ympäri pyörähtävän kappaleen pisteet rajaavat kukin ympyrän $z,w$-tasossa.