Popoviciun epäyhtälö

Popoviciun epäyhtälö on konveksissa analyysissä konvekseja funktioita koskeva epäyhtälö. Se on samantapainen kuin Jensenin epäyhtälö ja sen löysi vuonna 1965 romanialainen matemaatikko Tiberiu Popoviciu. Epäyhtälö kuuluu näin:

Olkoon ƒ funktion väliltä

$I\subseteq ℝ$

joukkoon

$ℝ$

. Jos ƒ on konveksi, niin kaikilla

$x,y,z\in I$

on voimassa

$\begin{array}{cc}& \frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3}+f\left(\frac{x+y+z}{3}\right)\\ & \ge \frac{2}{3}[f\left(\frac{x+y}{2}\right)+f\left(\frac{y+z}{2}\right)+f\left(\frac{z+x}{2}\right)].\end{array}$

Epäyhtälö voidaan yleistää n pisteelle:

Olkoon ƒ jatkuva kuvaus joukosta

$I\subseteq ℝ$

joukkoon

$ℝ$

. Tällöin ƒ on konveksi jos ja vain jos kaikilla kokonaisluvuilla n ja k, missä n ≥ 3 ja

$2\le k\le n-1$

, ja kaikilla

$x_1,\dots ,x_n\in I$

on voimassa

$\begin{array}{cc}& \frac{1}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{k-2})(\frac{n-k}{k-1}\sum _{i=1}^{n}f(x_i)+nf\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\right))\\ & \ge \sum _{1\le i_1<\dots <i_k\le n}f\left(\frac{1}{k}\sum _{j=1}^k{x}_{i_j}\right)\end{array}$

Popoviciun epäyhtälö yleistyy myös painotetuksi epäyhtälöksi.