Pintaintegraali

Pintaintegraalilla tarkoitetaan funktion integroimista yli pinnan. Se on määritelty vain ${ℝ}^3$:n pinnoille.

Määritelmä

Olkoon $D\subset {ℝ}^2$ yhtenäinen ja $\omega :D\to {ℝ}^3$ eräs ${ℝ}^3$:n derivoituva pinta. Olkoon $A\subset {ℝ}^3$ joukko siten, että pinnan $\omega$ kuvaaja $\omega (D)\subset A$. Olkoon nyt funktio $f:A\to ℝ$ sellainen, että funktio $h:D\to ℝ$,

$h(x,y)=f(\omega (x,y))||{\partial }_1\omega (x,y)\times {\partial }_2\omega (x,y)||$,

on integroituva yli joukon D. (huomaa, että koska $\omega$ on ${ℝ}^3$:n pinta, niin sen osittaisderivaattojen kaavat ovat ${ℝ}^3$:n vektoreita ja siis ristitulo voidaan määritellä niille). Nyt funktion $f$ pintaintegraali yli pinnan $\omega$ on luku

$\underset{\omega }{\int }f=\underset{D}{\iint }f(\omega (x,y))||{\partial }_1\omega (x,y)\times {\partial }_2\omega (x,y)||\text{d}x\text{d}y$.

Sovelluksia

Jos valitsemme nyt funktioksi $f=1$, niin pintaintegraali antaa pinnan $\omega$ kuvaajan pinta-alan. Saamme siis pinnan $\omega$ kuvaajan pinta-alaksi kaavan

$A(\omega )=\underset{D}{\iint }||{\partial }_1\omega (x,y)\times {\partial }_2\omega (x,y)||\text{d}x\text{d}y$.

Esimerkiksi voimme laskea kolmiulotteisen r-säteisen pallon kuoren pinta-alan tällä kaavalla. Määritellään pinta $\omega :\overline{B}(0,r)\to {ℝ}^3$,

$\omega (x,y)=(x,y,\sqrt{r^2-x^2-y^2})$.

Huomataan, että pinnan $\omega$ kuvaaja on r-säteisen origokeskisen pallon ylempi kupu. Näin ollen koko pallon kuoren pinta-ala saadaan pinnan $\omega$ kaksinkertaisesta pinta-alasta. Lasketaan nyt pinnan osittaisderivaatat:

${\partial }_1\omega (x,y)=({\partial }_{1}x,{\partial }_{1}y,{\partial }_1\sqrt{r^2-x^2-y^2})=(1,0,-x/\sqrt{r^2-x^2-y^2})$

${\partial }_2\omega (x,y)=({\partial }_{2}x,{\partial }_{2}y,{\partial }_2\sqrt{r^2-x^2-y^2})=(0,1,-y/\sqrt{r^2-x^2-y^2})$

Näiden vektoreiden ristituloksi saadaan vektori:

${\partial }_1\omega (x,y)\times {\partial }_2\omega (x,y)=\left|\begin{array}{ccc}(1,0,0)& (0,1,0)& (0,0,1)\\ 1& 0& -x/\sqrt{r^2-x^2-y^2}\\ 0& 1& -y/\sqrt{r^2-x^2-y^2}\end{array}\right|$

$=(x/\sqrt{r^2-x^2-y^2},y/\sqrt{r^2-x^2-y^2},1)$

ja edelleen sen normiksi

$||{\partial }_1\omega (x,y)\times {\partial }_2\omega (x,y)||=||(x/\sqrt{r^2-x^2-y^2},y/\sqrt{r^2-x^2-y^2},1)||$

$=\sqrt{(x/\sqrt{r^2-x^2-y^2}{)}^2+(y/\sqrt{r^2-x^2-y^2}{)}^2+1^2}=\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}$.

Näin ollen

$\text{Pallon kuoren pinta-ala}=2A(\omega )=2\underset{\overline{B}(0,r)}{\iint }||{\partial }_1\omega (x,y)\times {\partial }_2\omega (x,y)||\text{d}x\text{d}y$

$=2\underset{\overline{B}(0,r)}{\iint }\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}\text{d}x\text{d}y=4\pi r^2$.

(lopun integroinneissa käytetään apuna tasa-arvokäyrien teoriaa).

Vuopintaintegraali

Malline:Pääartikkeli Määrittelemme lisäksi toisenlaisen integraalin, jota kutsutaan kirjallisuudessa vuopintaintegraaliksi tai usein vain lyhyesti vuoksi. Olkoon pinta $\omega$ ja joukko $A\subset {ℝ}^3$ kuten edellä määriteltiin. Olkoon nyt funktio $F:A\to {ℝ}^3$ sellainen, että funktio $H:D\to ℝ$,

$H(x,y)=F(\omega (x,y))\cdot ({\partial }_1\omega (x,y)\times {\partial }_2\omega (x,y))$,

on integroituva yli joukon D. Nyt funktion $F$ vuopintaintegraali eli vuo läpi pinnan $\omega$ on luku

$\underset{\omega }{\int }F\cdot \text{d}\overline{A}=\underset{D}{\iint }F(\omega (x,y))\cdot ({\partial }_1\omega (x,y)\times {\partial }_2\omega (x,y))\text{d}x\text{d}y$.

Vuopintaintegraaliin liittyy tärkeä ns. divergenssilause, jonka mukaan jos $E\subset {ℝ}^3$ on avoin niin, että sen sulkeuma on kompakti, $E\subset A$, missä $A\subset {ℝ}^3$ on avoin ja $\omega :D\to {ℝ}^3$ on ${ℝ}^3$:n derivoituva pinta siten, että sen kuvaaja on joukon $E$ reuna $\partial E$, niin derivoituvan funktion $F:A\to {ℝ}^3$ vuo

$\underset{\omega }{\int }F\cdot \text{d}\overline{A}=\underset{D}{\iiint }\mathrm{\nabla }\cdot F\text{d}x\text{d}y\text{d}z$.