Negatiivinen binomijakauma

Malline:Todennäköisyysjakauma Negatiivinen binomijakauma on dikotomisen toistokokeen mielivaltaisen monennetta onnistumista edeltävien yritysten jakauma.

Negatiivinen binomijakauma on diskreetti ja sen arvojoukko on luonnollisten lukujen joukko. Jos satunnaismuuttuja $X$ on negatiivisbinomijakautunut, merkitään

$X\sim \mathrm{Negbin}(r,p).$

Jakauman parametri $0\le p\le 1$ on onnistumisen todennäköisyys, ja parametri $r\in \mathbb{N}$ on odotettu onnistumiskerta. Pistetodennäköisyysfunktio on

$\mathrm{P}(X=i)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+i-1}{i})p^r(1-p{)}^i.$

Odotusarvo ja varianssi ovat

$\mathrm{E}(X)=\frac{r(1-p)}{p}$ ja $\mathrm{Var}(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}.$

Jos $X_1\sim \mathrm{Negbin}(r_1,p)$ ja $X_2\sim \mathrm{Negbin}(r_2,p)$ sekä $X_1$ ja $X_2$ ovat riippumattomia, niin $X_1+X_2\sim \mathrm{Negbin}(r_1+r_2,p)$.

Negatiivisen binomijakauman yhteys geometriseen jakaumaan on

$\mathrm{Negbin}(1,p)=\mathrm{Geom}(p).$

Jakauman nimi tulee pistetodennäköisyysfunktion samankaltaisuudesta binomijakaumaan, ja siitä että pistetodennäköisyysfunktion voi ilmaista negatiivisen binomikertoimen avulla

$\mathrm{P}(X=i)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{-r}{i})p^r(-(1-p){)}^i.$

Katso myös

• Poissonin jakauma

Aiheesta muualla

• Mathworld: Negative Binomial Distribution