Nagelin piste

Kolmion muodostaneiden suorien väliin piirretään ympyrät siten, että ne sivuavat niitä kolmesta kohtaa. Kolmion sivujen sivuamiskohdat otetaan kantapisteiksi kolmelle ceviaanille, joiden leikkauspisteessä Nagelin piste on.

Nagelin piste on eräs kolmion merkillisestä pisteistä ja se on luetteloitu Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella

$X_8$

. Kolmion sivut jatketaan suorilla ja suorien väliin piirretään niin suuret ympyrät, että ne sivuavat kukin kaikkia suoria kerran. Tällaisia ympyröitä on neljä, kun mukaan lasketaan kolmion sisään piirretty ympyrä. Muut, kolmion ulkoiset ympyrät, sivuavat kolmiota pisteissä, jotka otetaan ceviaanien kantapisteiksi. Ceviaanien yhteinen leikkauspiste on nimeltään Nagelin piste. Piste on nimetty Christian Heinrich von Nagelin (1803–1882) mukaan.

Toinen määritelmä Nagelin pisteelle ei hyödynnä ympyröitä. Mitataan kärjestä A paikka vastaisella sivulla, joka on puolimatkassa kolmion ympäri, eli mitataan kolmion puolipiirin päätepisteen paikka, jota kutsutaan kantapisteeksi. Kustakin kärjestä merkitään muut kantapisteet samalla tavalla. Kärkien ja kantapisteiden väliset janat leikkaavat toisensa Nagelin pisteessä. Tämäkin menetelmä on todistettu alla.

Sijainti kolmiossa

Nagelin piste sijaitsee aina kolmion sisällä. Tämän näkee siitä, että ceviaani kulkee kolmion kärjen ja kolmion sivun sivuamispisteen välillä. Kaikkien tällaisten janojen leikkauspiste jää siksi kolmion sisään.

Tasasivuisen kolmion sivusuorat asettuvat symmetrisesti sivuavien ympyröiden ympärille, jolloin sivun tangenttipiste jää keskelle kolmion sivulle. Koska ceviaani on tällöin keskijana, leikkaavat ne toisensa painopisteessä.

Tasakylkisen kolmion kylkien sivuamispisteet asettuvat symmetrian vuoksi samalle korkeudelle. Kun kannan sivuamispiste tulee keskelle kantaa, jää Nagelin piste kolmion symmertiajakajalle eli korkeusjanalle.

Trilineaariset koordinaatit

Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

$\frac{-a+b+c}{a}:\frac{a-b+c}{b}:\frac{a+b-c}{c}={\csc }^2\frac{\alpha }{2}:{\csc }^2\frac{\beta }{2}:{\csc }^2\frac{\gamma }{2}$.

Barysentriset koordinaatit

Pisteen barysentriset koordinaatit ovat

$(-a+b+c):(a-b+c):(a+b-c)=(s-a):(s-b):(s-c)=\cot \frac{\alpha }{2}:\cot \frac{\beta }{2}:\cot \frac{\gamma }{2},$

• 
• 
• 

Todistus

Nagelin piste on aina olemassa. Tekstin todistelu seuraa kuvan merkintöjä.

Todistetaan, että kolmion $\mathrm{△}ABC$ mainitut ceviaanit leikkaavat toisensa yhteisessä pisteessä. Tekstissä seurataan viereisen kuvan merkintöjä. Kolmion sivujen jatkeet, eli sivusuorat, ovat ympyrän tangentteja, jossa esimerkiksi sivun $AC$ tangenttipiste on $A_v$ ja sivun $AB$ tangenttipiste on $A_o$. Nyt janojen $A{A}_v$ ja $A{A}_o$ pituudet ovat samat, koska ne ovat saman pisteen kautta kulkevat yhteisen ympyrän tangentteja. Merkitsemällä janan pituutta pystyviivoilla, saadaan $|A{A}_v|=|A{A}_o|$.

Merkitään kärjen $A$ vastaisen sivun $BC$ tangenttipistettä $A^{\prime }$ ja tarkastellaan janojen pituuksia ensin kärken $A$ kannalta. Kärjen $A$ vasemman sivulla kärjessä $C$ risteää kaksi sivusuoraa, jotka voidaan myös tulkita yhteisen ympyrän tangenteiksi. Silloin on $|CAv|=|C{A}^{\prime }|$ (1). Vastaava tilanne on pisteessä $B$, jossa $|BAo|=|B{A}^{\prime }|$ (2). Kun jana $A{A}_v$ kirjoitetaan pisteen $C$ avulla murtoviivana $AC{A}_v$ ja $A{A}_o$ vastaavasti $AB{A}_o$, voidaan edellisestä ((1) ja (2)) johtuen kirjoittaa $|AAv|=|ACAv|=|AC{A}^{\prime }|$ ja $|AAo|=|ABAo|=|AB{A}^{\prime }|$.

Edellinen havainto tulkitaan seuraavasti. Kärjestä $A$ on vastaiselle sivulle pisteeseen $A^{\prime }$ yhtä pitkä matka kuljettiinpa kärjen $B$ tai $C$ kautta. Matka on puolet kolmion piiriin pituudesta. Samanlainen tarkastelu tuottaa vastaavan tuloksen kärkien $B$ ja $C$ osalta, jolloin pisteet $B^{\prime }$ ja $C^{\prime }$ ovat puolen piirin matkan päässä vastinkärjistään. Tämän vuoksi voidaan merkitä yhtäpitkiksi janat $A{A}_v,A{A}_o,B{B}_v,B{B}_o,C{C}_v$ ja $C{C}_o$.

Edelleen, kun esimerkiksi suoran $AB$ janat $A{A}_o$ eli $AB{A}_o$ ja $B{B}_v$ eli $BA{B}_v$ sisältävät yhteisen osan $AB$, ovat myös päät $B{A}_o$ ja $A{B}_v$ yhtäpitkät. Soveltamalla ideaa kaikille sivuille, voidaan kirjoittaa

• $|A{B}_v|=|A{B}^{\prime }|=|B{A}_o|=|B{A}^{\prime }|$, koska $|ABAo|=|BABv|$, ja
• $|C{A}_v|=|C{A}^{\prime }|=|A{C}_o|=|A{C}^{\prime }|$, koska $|CACo|=|ACAv|$ , ja vielä
• $|B{C}_v|=|B{C}^{\prime }|=|C{B}_o|=|C{B}^{\prime }|$, koska $|BCBo|=|CBCv|$.

Cevan lausetta mukaellen

$\frac{A{C}^{\prime }}{C^{\prime }B}\cdot \frac{B{A}^{\prime }}{A^{\prime }C}\cdot \frac{C{B}^{\prime }}{B^{\prime }A}=\frac{A{C}^{\prime }}{\cancel{C{B}^{\prime }}}\cdot \frac{B{A}^{\prime }}{A{C}^{\prime }}\cdot \frac{\cancel{C{B}^{\prime }}}{B{A}^{\prime }}=\frac{\cancel{A{C}^{\prime }}}{1}\cdot \frac{\cancel{B{A}^{\prime }}}{\cancel{A{C}^{\prime }}}\cdot \frac{1}{\cancel{B{A}^{\prime }}}=\frac{1}{1}\cdot \frac{1}{1}\cdot \frac{1}{1}=1.$

Cevan lauseen mukaan janat $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ ja $C{C}^{\prime }$ ovat konkurrentit.

Aiheesta muualla

• Ballew, Pat: Nagel Points and Nagel Line Malline:Wayback
• Kimberling, Clark: Christian Heinrich von Nagel (1803–1882) geometer, educator