Minkowskin epäyhtälö

Analyysissä Minkowskin epäyhtälön mukaan L^p-avaruudet ovat normiavaruuksia. Olkoon S mitallinen avaruus, 1 ≤ p ≤ ∞ ja f, g L^p(S):n funktioita. Tällöin f + g kuuluu L^p(S):ään ja

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p,$

missä yhtäsuuruus pätee jos ja vain jos f ja g ovat lineaarisesti riippumattomia.

Minkowskin epäyhtälö on siis L^p(S)-avaruuden kolmioepäyhtälö. Se voidaan todistaa Hölderin epäyhtälön avulla.

Kuten Hölderin epäyhtälö, Minkowskin epäyhtälölle saadaan diskreetin mitan suhteen muotoon:

${(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^p)}^{1/p}$

kaikille reaali- tai kompleksiluvuille x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n, missä n on S:n dimensio.

Tilastotieteessä Minkowskin epäyhtälö kuuluu seuraavasti: Olkoot X ja Y kaksi satunnaismuuttujaa. Tällöin kaikilla $1\le p<\mathrm{\infty }$ on voimassa

${(E|X+Y{|}^p)}^{1/p}\le {(E|X{|}^p)}^{1/p}+{(E|Y{|}^p)}^{1/p})$