Hölderin epäyhtälö

Matematiikassa Hölderin epäyhtälö on mittateoriaan liittyvä epäyhtälö, jota käytetään $L^p$-avaruuksien tutkimisessa.

Lause (Hölderin epäyhtälö). Olkoon (S, Σ, μ) mitta-avaruus ja olkoot $p,q\in [1,\mathrm{\infty }]$ joille $1/p+1/q=1$. Tällöin kaikille mitallisille reaali- ja kompleksiarvoisille funktioille f ja g on voimassa

$\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q.$

Summaversiolle on olemassa seuraava yleistys: Olkoot $p,q,r>1$ joille $1/p+1/q+1/r=1$ ja $a_1,\dots ,a_n,b_1,\dots ,b_n,c_1,\dots ,c_n$ kolme jonoa positiivisia reaalilukuja. Tällöin

$\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i{c}_i\le {\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^p\right)}^{1/p}{\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^q\right)}^{1/q}{\left(\sum _{i=1}^n{c}_i^r\right)}^{1/r}$

Yhtälöstä on myös olemassa erikoistapaus Liapounovin epäyhtälö.

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite