Merkkinen mitta

Malline:LähteetönMerkkinen mitta on mittateoriassa hyödyllinen mitan yleistys. Se kulkee kirjallisuudessa myös nimellä täysadditiivinen joukkofunktio.

Se määritellään muuten kuten (positiivinen) mitta, mutta arvojen pitää olla reaalilukuja, tai joissain määritelmissä myös $\pm \mathrm{\infty }$ on sallittu. Tässä artikkelissa nämä määritelmät erotellaan toisistaan termeillä "äärellinen merkkinen mitta" ja "yleistetty merkkinen mitta".

Määritelmä

Olkoon $X$ joukko ja $𝒜$ sigma-algebra perusjoukolla $X$. Kuvaus $\sigma :𝒜\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ on yleistetty merkkinen mitta, jos se toteuttaa seuraavat ehdot

1. Tyhjän joukon mitta on nolla, eli $\sigma (\mathrm{\varnothing })=0$
2. Jos joukot $A_i\in 𝒜$, $i\in I$, missä $I$ on numeroituva joukko, ovat erillisiä ja summa $\sum _{i\in I}\sigma (A_i)$ on olemassa, niin $\sigma \left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)=\sum _{i\in I}\sigma (A_i)$.

Yleistetty merkkinen mitta voi olla myös kuvaus $𝒜\to ℝ\cup \{-\mathrm{\infty }\}$. Kuvaus $𝒜\to ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$ ei kuitenkaan ole mielekäs kaavan

$\sigma (A)+\sigma (B\setminus A)=\sigma (B)+\sigma (A\setminus B)$

vuoksi, jos olisi $\sigma (A)=+\mathrm{\infty }$ ja $\sigma (B)=-\mathrm{\infty }$.

Äärellinen merkkinen mitta määritellään samoin paitsi että vaaditaan $\sigma :𝒜\to ℝ$.

Yleensä "merkkinen mitta" tarkoittaa äärellistä merkkistä mittaa, mutta tämä artikkeli ei sitä vaadi.

Ominaisuuksia

Mikäli merkkinen mitta on ei-negatiivinen kaikilla sigma-algebran alkioilla, on se selvästi mitta (eli positiivinen mitta).

Merkkiselle mitalle $\sigma$ voidaan jokaisessa joukossa $A\subset X$ määritellä niin sanotut ylä- ja alavariaatiot

$V^{*}(A):=\sup \{\sigma (E):E\in 𝒜,E\subset A\}$ ja $V_{*}(A):=\inf \{\sigma (E):E\in 𝒜,E\subset A\}.$

Kuvaukset $V^{*}$ ja $V_{*}$ ovat itse asiassa myös merkkisiä mittoja, jos rajoitumme sigma-algebran alkioihin.

Näiden avulla voidaan osoittaa, että jokainen merkkinen mitta $\sigma$ voidaan lausua muodossa

$\sigma =V^{*}+V_{*}$.

Tästä itse asiassa seuraa niin sanottu Jordanin esityslause, jonka mukaan jokainen merkkinen mitta on jonkin kahden mitan erotusfunktio.