Lipschitz-jatkuvuus

Lipschitz-jatkuvuus on matemaattinen termi tietyntyyppiselle metristen avaruuksien välisen funktion jatkuvuudelle. Lipschitz-jatkuvuus on rajoittavampi ehto kuin funktion jatkuvuus. Erityisesti jokainen Lipschitz-jatkuva funktio on jatkuva.

Määritelmä

Metristen avaruuksien $(X,d)$ ja $(Y,d^{\prime })$ välinen funktio $f:X\to Y$ on Lipschitz-funktio, Lipschitz-kuvaus tai lyhyemmin Lipschitz, jos on olemassa sellainen luku $L\ge 0$, että

$d^{\prime }(f(x),f(y))\le L\cdot d(x,y)$

kaikilla $x,y\in X$. Tällöin sanotaan $f$:n olevan L-Lipschitz. Eli esimerkiksi vakiokuvaus on 0-Lipschitz. Pienintä lukua $L$, joka toteuttaa yllä olevan epäyhtälön, kutsutaan funktion $f$ Lipschitz-vakioksi. Funktiota, joka on Lipschitz vakiolla $0\le L<1$, kutsutaan kontraktioksi.

Lipschitz-funktion ominaisuuksia

Jokainen Lipschitz-funktio on absoluuttisesti jatkuva, ja Rademacherin lauseen mukaan Rⁿ:n avoimessa osajoukossa A määritelty Lipschitz-funktio on derivoituva melkein kaikissa A:n pisteissä.

Lähteet

• Malline:Kirjaviite