Kontraktio

Matematiikassa kontraktio on eräs funktiotyyppi. Kontraktioita kutsutaan myös nimellä kutistus.

Määritelmä

Funktio $f:ℝ\to ℝ$ on kontraktio, jos riippumatta luvuista $x,y\in ℝ$ on olemassa $0\le q<1$ siten, että

$|f(x)-f(y)|\le q|x-y|.$

Yleisemmällä tasolla kontraktio määritellään kahden metrisen avaruuden välisenä funktiona. Tällöin yo. määritelmässä korvataan vain erotusten itseisarvot metriikoilla: funktio $f:X\to Z$ on kontraktio, jos riippumatta pisteistä $x,y\in X$ on olemassa $0\le q<1$ siten, että

$d_Z(f(x),f(y))\le q{d}_X(x,y)$,

missä $d_Z$ ja $d_X$ ovat avaruuksien $Z$ ja $X$ metriikat, vastaavasti.

Esimerkkejä

Funktio $f(x)=\frac{x}{3}$ on kontraktio. Nimittäin nyt

$|f(x)-f(y)|=\frac{|x-y|}{3},$

eli $q=\frac{1}{3}$.

Funktio $f(x)=x^2$ ei ole kontraktio, sillä esimerkiksi

$|f(0)-f(2)|=|0-4|=4>2=1\cdot |0-2|.$

Lause

Olkoon $f:I\to ℝ$ derivoituva, missä $I\subset ℝ$ on väli. Tällöin $f$ on kontraktio jos ja vain jos $\underset{x\in I}{\sup }|f^{\prime }(x)|<1$.

Todistus: Olkoon $r=\underset{x\in I}{\sup }|f^{\prime }(x)|$. Jos $r<1$, niin differentiaalilaskennan väliarvolauseen perusteella

$|f(x)-f(y)|/|x-y|=|f^{\prime }(c)|\le r,$

kaikilla $x,y\in I$ joten tällöin $f$ on kontraktio. (Jos $I$ ei ole avoin, toispuoleiset derivaatat päätepisteissä riittävät.)

Jos $q<r$, niin on olemassa $x\in I$ siten, että $\delta =|f^{\prime }(x)|-q>0$. Tällöin on olemassa $y\in I\setminus \{x\}$ siten, että

$|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}-f^{\prime }(x)|<\delta ,$

jolloin $\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|>|f^{\prime }(x)|-\delta >q$. Siis mikään $q<r$ ei kelpaa kontraktion määritelmässä. Jos siis $r\ge 1$, niin $f$ ei ole kontraktio, MOT.

Esimerkki

Funktio $f(x)=\frac{x^2}{1+|x|}$ ei ole kontraktio funktiona $f:ℝ\to ℝ$ mutta on kontraktio millä tahansa äärellisellä välillä: $f:[a,b]\to ℝ$. On näet

$0\le f^{\prime }(x)=\frac{(x+1{)}^2-1}{(x+1{)}^2}<1$

kaikilla $x\ge 0$ ja $f^{\prime }(-x)=-f^{\prime }(x)$ eli $|f^{\prime }(x)|<1$ kaikilla $x$ mutta silti

$\underset{x\in ℝ}{\sup }|f^{\prime }(x)|=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }|f^{\prime }(x)|=1,$

joten $\underset{x\in I}{\sup }|f^{\prime }(x)|<1$ jos ja vain jos väli $I$ on äärellinen. Tässä on käytetty apuna sitä, että $f^{″}(x)=2/(x+1{)}^3\ge 0$ kaikilla $x$.

Katso myös

• Banachin kiintopistelause