Liittomatriisi

Lineaarialgebrassa annetun neliömatriisin liittomatriisi eli adjungoitu matriisi (Malline:K-en) on matriisi, joka muodostetaan korvaamalla alku­peräisen matriisin alkiot niiden ali­determi­nanteilla, vaihtamalla niistä joka toinen vasta­luvukseen ja ottamalla näin saadusta matriisista transpoosi.

Liitto­matriisista käytetään myös nimitystä adjungoitu matriisi (Malline:K-en), joskin samalla termillä voidaan tarkoittaa myös matriisin konju­gaattista trans­poosia.

Määritelmä

Matriisin A liitto­matriisi on sen kofaktorimatriisin C transpoosi:

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)={𝐂}^{𝖳}$.

Yksityiskohtaisemmin: olkoon R kommutatiivinen rengas ja A n×n -matriisi, jonka alkiot kuuluvat R:ään.

Muodostetaan ensin jokaista matriisin alkiota [a_ij] kohti alideterminantti, toisin sanoen sen matriisin determinantti, joka saadaan, kun alkuperäisestä matriisista A poistetaan i:s rivi ja j:s sarake. Matrisiissa A olevat luvut korvataan saatujen determinanttien arvoilla. Tämän jälkeen ne saadun matriisin alkiot, joita vastaavien rivin ja sarakkeen järjestys­numeroiden summa on pariton, korvataan vasta­luvuillaan. Täten saadaan alku­peräisen matriisin A kofaktori­matriisi. A:n liittomatriisi eli adjungoitu matriisi on sen kofaktori­­matriisin trans­poosi, ja sille käytetään merkintää adj(A).

Liittomatriisin määritelmästä seuraa, että matriisin A ja sen liittomatriisin matriisitulo on diagonaalinen matriisi, jonka diagonaalilla esiintyy joka rivillä alku­peräisen matriisin determinantin arvo det(A). Kun liitto­matriisin adj(A) kaikki alkiot jaetaan tämän determinantin arvolla, saadaan alku­peräisen matriisin A käänteismatriisi.

Esimerkkejä

2 × 2 -matriisin liittomatriisi

2 × 2 -matriisin

$𝐀=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

liittomatriisi on

$\mathrm{adj}(𝐀)=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$.

Voidaan helposti todeta, että det(adj(A)) = det(A) ja adj(adj(A)) = A.

3 × 3 -matriisin liittomatriisi

Käsitellään $3\times 3$ -matriisia

$𝐀=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$

Muodostetaan ensin alideterminantit:
$\left|A_{11}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$, $\left|A_{12}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|$, $\left|A_{13}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$
$\left|A_{21}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$, $\left|A_{22}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|$, $\left|A_{23}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$
$\left|A_{31}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right|$, $\left|A_{32}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{array}\right|$, $\left|A_{33}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$
Sijoitetaan nämä matriisiin ja korvataan niistä joka toinen vastaluvullaan, jolloin saadaan A:n kofaktorimatriisi:

$𝐂=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|\\ & & \\ -\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|\\ & & \\ +\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 9\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right|\\ & & \\ -\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 8& 9\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 7& 8\end{array}\right|\\ & & \\ +\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 6\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 6\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 5\end{array}\right|\end{array}\right)$

Kun tämä transponoidaan, saadaan alkuperäisen matriisin A liittomatriisiksi:

$\mathrm{adj}(𝐀)=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right|\\ & & \\ -\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{array}\right|\\ & & \\ +\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 8& 9\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& 6\end{array}\right|\\ & & \\ -\left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 9\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 6\end{array}\right|\\ & & \\ +\left|\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 7& 8\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 5\end{array}\right|\end{array}\right)$

missä

$\left|\begin{array}{cc}{a}_{im}& a_{in}\\ a_{jm}& a_{jn}\end{array}\right|=\det \left(\begin{array}{cc}{a}_{im}& a_{in}\\ a_{jm}& a_{jn}\end{array}\right)$.

Kaksirivisen determinantin arvo lasketaan seuraavasti: $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$

Ominaisuuksia

Liittomatriisilla on seuraavat ominaisuudet:

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐈)=𝐈,$

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀𝐁)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐁)\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀),$

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(c𝐀)=c^{n-1}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)$

kaikille n×n-matriiseille A ja B. Toisella rivillä oleva yhtälö seuraa yhtälöistä adj(B)adj(A) = det(B)B^-1 det(A)A^-1 = det(AB)(AB)^-1. Korvaamalla toisella rivillä B matriisilla A^{m - 1} ja suorittamalla tämä rekursiivisesti saadaan kaikille kokonaisluville m:

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}({𝐀}^m)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀{)}^m.$

Liittomatriisin transpoosi on sama kuin transpoosin liittomatriisi:

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}({𝐀}^{𝖳})=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀{)}^{𝖳}.$

Lisäksi,

$\det (\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀))=\det (𝐀{)}^{n-1},$

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀))=\det (𝐀{)}^{n-2}𝐀$

ja jos det(A) = 1, on det(adj(A)) = det(A) ja adj(adj(A)) = A.

Käänteismatriisi

Laplacen kaavasta n×n -matriisin A determinantille seuraa:

$𝐀\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)=\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)𝐀=\det (𝐀){𝐈}_n(*)$

missä ${𝐈}_n$ on n×n -yksikkömatriisi.

Tästä kaavasta seuraa yksi matriisilaskennan tärkeimmistä tuloksista: Kommutatiivisen renkaan R matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos determinantilla det(A) on käänteisalkio renkaassa R. Jos matriisin alkiot ovat esimerkiksi reaali- tai kompleksilukuja, neliömatriisilla on käänteismatriisi, jos ja vain jos sen determinantti ei ole nolla.

Sillä jos A on kääntyvä matriisi, on

$1=\det ({𝐈}_n)=\det (𝐀{𝐀}^{-1})=\det (𝐀)\det ({𝐀}^{-1}),$

ja yllä oleva yhtälö (*) osoittaa, että

${𝐀}^{-1}=\det (𝐀{)}^{-1}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀).$

Karakteristinen polynomi

Jos p(t) = det(A − t I) on A:n karakteristinen polynomi ja määritellään lisäksi polynomi q(t) = (p(0) − p(t))/t, saadaan:

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(𝐀)=q(𝐀)=-(p_1𝐈+p_2𝐀+p_3{𝐀}^2+\cdots +p_n{𝐀}^{n-1}),$

missä luvut $p_j$ ovat p(t):n kertoimet,

$p(t)=p_0+p_{1}t+p_2{t}^2+\cdots +p_n{t}^n.$

Jacobin kaava

Liitto­matriisi esiintyy myös Jacobin kaavassa determinantin derivaatalle:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha }\det (A)=\mathrm{tr}(\mathrm{adj}(A)\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}\alpha }).$

Lähteet

• Malline:Kirjaviite

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite
• Malline:Verkkoviite