Lebesguen–Stieltjesin integraali

Lebesguen–Stieltjesin integraali on integraali, jonka tunnistaa merkintätavasta

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)$,

missä $f$ ja $g$ ovat funktioita. Sitä voidaan pitää yleistyksenä sekä Lebesguen integraalista että Riemannin–Stieltjesin integraalista. Lebesgue-Stieltjes-integraalilla on sovelluksia esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa, erityisesti stokastisten prosessien alalla.

Lebesgue-Stieltjes-integraalin muodollinen määrittely

Integraalina Lebesgue-Stieltjes-integraali on määriteltävissä tietyn numeroituvasti additiivisen positiivisen mitan suhteen. Tässä määritellään kyseinen mitta.

Olkoon $a,b\in ℝ$, $a<b$, funktio $g:[a,b]\to ℝ$ kasvava ja oikealta jatkuva sekä raja-arvo

$g(t-)=\underset{s\to t-}{\lim }g(s)=\underset{s\uparrow t}{\lim }g(s)$

kaikissa pisteissä $t\in [a,b]$ olemassa.

Olkoon $[\alpha ,\beta ]\subset [a,b]$. Määritellään joukkofunktio $m_g$ kaavalla $m_g((\alpha ,\beta ])=g(\beta )-g(\alpha )$. Tällöin $m_g$ on laajennettavissa numeroituvasti additiiviseksi positiiviseksi mitaksi, joka on määritelty kaikilla välin $[a,b]$ Borel-joukoilla. Samaistetaan jatkossa tämä mitta joukkofunktion $m_g$ kanssa.

Mitallisen funktion $f:[a,b]\to ℝ$ Lebesgue-Stieltjes-integraali on sen integraali mitalla $m_g$, eli yli määrittelyjoukkonsa se on mittaintegraalina

$\underset{[a,b]}{\int }fd{m}_g$.

Sille käytetään kuitenkin merkintää

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)$.

Funktiota $f$ kutsutaan integrandiksi ja funktiota $g$ integraattoriksi.

Lebesgue-Stieltjes-integraali laajennetaan vielä määritellyiksi integraattoreille, jotka ovat rajoitetusti heilahtelevia. Jos $g$ on rajoitetusti heilahteleva, on sille olemassa hajotelma $g=g_1-g_2$, missä $g_1$ ja $g_2$ ovat kasvavia funktioita $[a,b]\to ℝ$. Tällöin määritellään

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d{g}_1(x)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d{g}_2(x)$.

Lebesgue-Stieltjes-integraalille erityisiä ominaisuuksia

Lebesgue-Stieltjes-integraali on integraalin perusominaisuuksien mukaan automaattisesti lineaarikuvaus integrandinsa suhteen, mutta se on sitä myös integraattorinsa suhteen, toisin sanoen bilineaarinen:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d({\alpha }_1{g}_1(x)+{\alpha }_2{g}_2(x))={\alpha }_1\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d{g}_1(x)+{\alpha }_2\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d{g}_2(x)$.

Lebesgue-Stieltjes-integraalia voidaan pitää yleistyksenä Riemannin integraalista. Jos integraattori on identiteettifunktio, niin integraali supistuu funktion $f$ Riemannin integraaliksi yli välin $[a,b]$:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d(Id(x))=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

olettaen, että $f$ on Riemann-integroituva.

Jos $g$ on derivoituva sekä $f$ ja $g^{\prime }$ ovat Riemann-integroituvia, niin Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvon voi laskea Riemannin integraalina. Tällöin nimittäin pätee kaava

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx$.

Jos funktiolla $g$ on epäjatkuvuuskohta pisteessä $c\in [a,b]$ ja se on muualla derivoituva sekä muut edelliset oletukset pätevät, niin

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx+f(c)(\underset{x\to c+}{\lim }g(x)-\underset{x\to c-}{\lim }g(x))$.

Yleisemmässä tapauksessa Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvot voi laskea numeerisesti. Jos $f$ on vasemmalta jatkuva, rajoitetusti heilahteleva ja rajoitettu, niin

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x_i^n)(g(x_{i+1}^n)-g(x_i^n))$,

missä $a=x_1^n<x_2^n<\dots <x_n^n=b$ on tihentyvä jono välin $[a,b]$ jakoja, eli $\max \{x_{i+1}^n-x_i^n|i=1,\dots ,n-1\}\to 0$, kun $n\to \mathrm{\infty }$.

Katso myös

• Odotusarvo

Kirjallisuutta

• Malline:Verkkoviite

Aiheesta muualla

• MathWorld. Lebesgue-Stieltjes Integral