Riemannin–Stieltjesin integraali

Riemannin–Stieltjesin integraali on eräs Riemannin integraalin yleistys. Se on saanut nimensä Thomas Joannes Stieltjesin ja Bernhard Riemannin mukaan. Riemannin–Stieltjesin integraali voidaan määritellä joko summien tai ylä- ja alarajojen avulla. Tässä artikkelissa integraali on määritelty ylä- ja alarajojen avulla.

Riemannin–Stieltjesin integraali on muotoa
$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)$,
missä funktiota f kutsutaan integrandiksi ja funktiota g integraattoriksi.
Integraali voi myös olla muotoa
$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d\alpha$.

Määritelmä

Olkoon α kasvava funktio välillä [a,b]. Välin [a,b] osituksella P tarkoitetaan pistejoukkoa $x_0,x_1,\cdots ,x_n$ , missä

a= $x_0$ ≤ $x_1$ ≤ $\cdots$ ≤ $x_n$ = b.

Merkitään

$\mathrm{\Delta }$ $x_i$ = $x_i-x_{i-1}$, missä (i = 1, $\cdots$ , n).

Oletetaan, että f on rajoitettu reaalifunktio välillä [a,b]. Jokaisella osituksella P välillä [a,b] asetetaan

$M_i$ = sup f(x) ($x_{i-1}$ ≤ x ≤ $x_i$)

$m_i$ = inf f(x) ($x_{i-1}$ ≤ x ≤ $x_i$).

Jokaiselle ositukselle P välillä [a,b] voidaan merkitä

$\mathrm{\Delta }$ α = α($x_i$) - α($x_{i-1}$).

On selvää, että $\mathrm{\Delta }$ α ≥ 0. Jokaiselle reaalifunktiolle f, joka on rajoitettu välillä [a,b], asetaan

U (P, f, α) = $\sum _{i=1}^n$ $M_i$ $\mathrm{\Delta }$ ${\alpha }_i$,

L (P, f, α) = $\sum _{i=1}^n$ $m_i$ $\mathrm{\Delta }$ ${\alpha }_i$.

Jos

$infU(P,f,\alpha )=supL(P,f,\alpha )$ ,

missä supremum ja infimum otetaan kaikkien ositusten yli, niin yhteistä arvoa merkitään
$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fd\alpha$
tai $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d\alpha (x)$. Tätä kutsutaan funktion f Riemannin–Stieltjesin integraaliksi tai yksinkertaisemmin Stieltjesin integraaliksi $\alpha$:n suhteen yli välin [a,b].

Riemannin–Stieltjesin integraalin yhteys Riemannin integraaliin

Merkitsemällä $\alpha (x)=x$ nähdään, että Riemannin integraali on erikoistapaus Riemannin–Stieltjesin integraalista:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d\alpha =\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$.

Yleisissä tapauksissa $\alpha$:n ei tarvitse olla jatkuva.

Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuuksia

Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuudet muistuttavat pitkälti Riemannin integraalin ominaisuuksia.
Seuraavassa esitellään muuttujan vaihto sekä integraalin lineaariominaisuudet.

Muuttujan vaihto

Olkoon funktio $f\in R$ välillä [a,b] ja g aidosti monotoninen ja jatkuva funktio, joka on määritelty välillä S=[a,b]. Oletetaan, että a = g(c) ja b = g(d) sekä funktiot h ja $\beta$ ovat yhdistettyjä funktioita, jotka on määritelty seuraavasti

$h(x)=f[g(x)],\beta =\alpha [g(x)]$,

jos $x\in S$.
Silloin funktio $h\in R$ välillä S ja
$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fd\alpha =\underset{c}{\overset{d}{\int }}hd\beta$.

Lineaariominaisuudet

Jos $f\in R(\alpha )$ ja $g\in R(\alpha )$ välillä [a,b], niin

$c_{1}f+c_{2}g\in R(\alpha )$ välillä [a,b] ja

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(c_{1}f+c_{2}f)d\alpha =c_1\underset{a}{\overset{b}{\int }}fd\alpha +c_2\underset{a}{\overset{b}{\int }}gd\alpha$.

Katso myös

• Lebesgue–Stieltjes-integraali

Lähteet

• Rudin W., Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, 1953 Malline:Lähde tarkemmin
• Laitinen T., Riemann-Stieltjes-integraali, Pro gradu -työ, 2006 Malline:Lähde tarkemmin

Kirjallisuutta

• Malline:Verkkoviite