Laplace-muunnos

Laplace-muunnos (Laplacen muunnos) on eräs yleisimmin käytetyistä integraalimuunnoksista. Muunnoksella on käytännön sovelluksia monilla fysiikan osa-alueilla, erityisesti elektroniikassa sekä matematiikassa todennäköisyyslaskennassa. Laplace-muunnosta voidaan käyttää myös differentiaaliyhtälöiden alkuarvotehtävien ratkaisemiseen.

Mielivaltaisen funktion f(t), joka on määritelty kaikilla t>0, Laplace-muunnos määritellään integraalina:

$F(s)=ℒ\{f(t)\}=\underset{0^{-}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$,

missä $0-=\underset{ϵ\to +0}{\lim }-ϵ$. Joskus käytetään myös kaksipuolista muotoa:

$ℒ\{f(t)\}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$

Yleisessä tapauksessa muunnoksen argumentti $s$ on kompleksiluku: $s={\sigma }_1+i{\sigma }_2$, missä $i$ on imaginääriyksikkö ja ${\sigma }_1,{\sigma }_2\in ℝ$. Laplace-muunnoksen käänteismuunnos tunnetaan Bromwichin integraalina. Se on kompleksinen integraali:

$f(t)={ℒ}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma -i\mathrm{\infty }}{\overset{\gamma +i\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{st}F(s)ds$

Laplace-muunnoksen ominaisuuksia

• Laplace-muunnos on selvästi lineaarinen:

$ℒ\{af(t)+bg(t)\}=aF(s)+bG(s)$

• Kahden funktion konvoluution Laplace-muunnos:

$ℒ\{f(t)*g(t)\}=F(s)G(s)$

• Signaalinkäsittelyssä käytännöllinen on alku- ja loppuarvoteoreema:

$\underset{t\to 0}{\lim }f(t)=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }sF(s)$

$\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(t)$

• Erityisen kiintoisa on funktion derivaatan Laplace-muunnos:

$ℒ\{\frac{df}{dt}\}=sℒ\{f(t)\}-f(0)$

Tämän ominaisuuden avulla differentiaaliyhtälö voidaan muuttaa algebralliseksi yhtälöksi, jonka ratkaiseminen on tyypillisesti paljon differentiaaliyhtälöä yksinkertaisempaa.

Yleensä on Laplace-muunnosta käytettäessä kätevää käyttää valmiita muunnoskaavoja, joita on taulukoitu erilaisille funktioille. Seuraavassa on keskeisimpiä:,

Funktio	Laplace-muunnos	Rajoitteet
1	$\frac{1}{s}$	s>0
$e^{ax}$	$\frac{1}{s-a}$	$s>\max \{a,0\}$
$x^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$	s>0
$\sin (ax)$	$\frac{a}{s^2+a^2}$	s>0
$\cos (ax)$	$\frac{s}{s^2+a^2}$	s>0
$\sinh (ax)$	$\frac{a}{s^2-a^2}$	s>0
$\cosh (ax)$	$\frac{s}{s^2-a^2}$	s>0

Katso myös

• Fourier'n muunnos
• Mellinin muunnos

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite
• Malline:Kirjaviite

Aiheesta muualla

• Laplace- ja Fourier-muunnoksia online Malline:Wayback Malline:En
• Luettelo funktioiden Laplace-muunnoksista ja käänteismuunnoksista Malline:En
• Toinen luettelo eri funktioiden Laplace-muunnoksista Malline:En