Laajennettu reaalilukujoukko

Ylin reaalilukusuora on laajennettu siten, että mukaan on otettu luvut $\mathrm{\infty }$ ja $-\mathrm{\infty }$ ja ne ovat lukusuoran päätepistetitä. Alempi kuvio liittyy toiseenn laajennustulkintaan.

Laajennettu reaalilukujoukko on lukujoukko, joka saadaan lisäämällä reaalilukujoukkoon $ℝ$ kaksi uutta elementtiä: positiivinen äärettömyys +∞ eli ∞ ja negatiivinen äärettömyys −∞. Laajennettua reaalilukujoukkoa voidaan merkitä symbolilla $\overline{ℝ}$ tai välinä [−∞, +∞]. Laajennetun reaalilukujoukon geometrinen vastine on laajennettu lukusuora, jossa ajatellaan tavallisen lukusuoran kumpaankin päähän lisätyksi yksi äärettömän kaukainen piste.

Laajennettu reaalilukujoukko on tarpeellinen erityisesti raja-arvotarkasteluissa ja mittateorian sovelluksissa.

Laskutoimitukset

Tavalliset reaalilukujen laskutoimitukset voidaan osittain ottaa käyttöön myös laajennetussa reaalilukujoukossa.

$\begin{array}{cccc}a+\mathrm{\infty }=+\mathrm{\infty }+a& =+\mathrm{\infty },& a& \ne -\mathrm{\infty }\\ a-\mathrm{\infty }=-\mathrm{\infty }+a& =-\mathrm{\infty },& a& \ne +\mathrm{\infty }\\ a\cdot \pm \mathrm{\infty }=\pm \mathrm{\infty }\cdot a& =\pm \mathrm{\infty },& a& \in (0,+\mathrm{\infty }]\\ a\cdot \pm \mathrm{\infty }=\pm \mathrm{\infty }\cdot a& =\mp \mathrm{\infty },& a& \in [-\mathrm{\infty },0)\\ \frac{a}{\pm \mathrm{\infty }}& =0,& a& \in ℝ\\ \frac{\pm \mathrm{\infty }}{a}& =\pm \mathrm{\infty },& a& \in {ℝ}^{+}\\ \frac{\pm \mathrm{\infty }}{a}& =\mp \mathrm{\infty },& a& \in {ℝ}^{-}\end{array}$

Näissä määrittelyissä a + ∞ on sekä a + (+∞) että a − (−∞), ja vastaavasti a − ∞ on sekä a − (+∞) että a + (−∞).

Sen sijaan ∞−∞, ±∞ ÷ ±∞, (±∞)⁰, 0^±∞, 1^±∞ ja (−∞)^±∞ ei tavallisesti ole määritelty. Raja-arvolaskennassa määrittämätön 0 * ±∞ taas määritetään todennäköisyyslaskennassa ja mittateoriassa tavallisesti nollaksi.

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite
• Malline:Verkkoviite