Kroneckerin tulo

Kroneckerin tulo on tulo, joka voidaan määrittää kahdelle tai useammalle matriisille. Tuloa merkitään $\otimes$-symbolilla. Kroneckerin tulo määritellään seuraavasti: Olkoot $A=a_{ij}m\times n$- ja $B=b_{ij}p\times q$-matriisi. Tällöin saadaan matriisi, jonka koko on $mp\times nq$.

$𝐀\otimes 𝐁=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}𝐁& \cdots & a_{1n}𝐁\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}𝐁& \cdots & a_{mn}𝐁\end{array}\right],$

eli alkioittain tarkasteltuna:

$𝐀\otimes 𝐁=\left[\begin{array}{cccccccccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{11}{b}_{12}& \cdots & a_{11}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{11}& a_{1n}{b}_{12}& \cdots & a_{1n}{b}_{1q}\\ a_{11}{b}_{21}& a_{11}{b}_{22}& \cdots & a_{11}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{21}& a_{1n}{b}_{22}& \cdots & a_{1n}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{11}{b}_{p1}& a_{11}{b}_{p2}& \cdots & a_{11}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{p1}& a_{1n}{b}_{p2}& \cdots & a_{1n}{b}_{pq}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& \ddots & & ⋮& ⋮& & ⋮\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}{b}_{11}& a_{m1}{b}_{12}& \cdots & a_{m1}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{11}& a_{mn}{b}_{12}& \cdots & a_{mn}{b}_{1q}\\ a_{m1}{b}_{21}& a_{m1}{b}_{22}& \cdots & a_{m1}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{21}& a_{mn}{b}_{22}& \cdots & a_{mn}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}{b}_{p1}& a_{m1}{b}_{p2}& \cdots & a_{m1}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{p1}& a_{mn}{b}_{p2}& \cdots & a_{mn}{b}_{pq}\end{array}\right].$

Kroneckerin tulo matriisin ja vakion välillä palautuu normaaliksi matriisin kertomiseksi vakiolla eli $k\otimes A=A\otimes k=kA$, missä $k$ on skalaari. Samoin Kroneckerin tulo matriisin ja nollamatriisin välillä on nolla. Laskettaessa saadaan Kroneckerin tuloa yksikkömatriisin ja matriisin välille, jonka diagonaalilla on matriisi A eli $I\otimes A=diag(A,\dots ,A)$. Vastaavasti matriisin ja yksikkömatriisin välinen Kroneckerin tulo on $A\otimes I=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}𝐈& \cdots & a_{1n}𝐈\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}𝐈& \cdots & a_{mn}𝐈\end{array}\right]$. Diagonaalimatriisin $D=\{d_i\}$, jonka koko on $m$ ja matriisin $A$ Kroneckerin tulo on $D\otimes A=diag(d_{1}A,d_{2}A,\dots ,d_{m}A)$

Esimerkki:

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1\cdot 0& 1\cdot 5& 2\cdot 0& 2\cdot 5\\ 1\cdot 6& 1\cdot 7& 2\cdot 6& 2\cdot 7\\ 3\cdot 0& 3\cdot 5& 4\cdot 0& 4\cdot 5\\ 3\cdot 6& 3\cdot 7& 4\cdot 6& 4\cdot 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 5& 0& 10\\ 6& 7& 12& 14\\ 0& 15& 0& 20\\ 18& 21& 24& 28\end{array}\right].$

Laskusääntöjä

Olkoot $A$ ja $B$ $m\times n$-kokoisia matriiseja, $C$ ja $D$ $p\times q$-kokoisia matriiseja sekä $k$ vakio. Tällöin pätevät seuraavat laskusäännöt:

$(kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B)$

$(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C$

$C\otimes (A+B)=C\otimes A+C\otimes B$

$(A+B)\otimes (C+D)=(A\otimes C)+(A\otimes D)+(B\otimes C)+(B\otimes D)$