Kategoria (matematiikka)

Kategoria, jossa on kolme objektia $A$, $B$ ja $C$, pakolliset identiteettimorfismit, täsmälleen yksi morfismi $A$:sta $B$:hen ($f$), täsmälleen yksi morfismi $B$:stä $C$:hen ($g$) sekä näiden yhdiste $g\circ f$.

Matematiikassa, kategoria on rakenne, joka koostuu objekteista sekä objektien välisistä morfismeista. Keskeistä on kahden "peräkkäisen" morfismin yhdisteen olemassaolo: jos $f$ on morfismi objektista $A$ objektiin $B,$ ja $g$ morfismi objektista $B$ objektiin $C,$ niin silloin on olemassa yhdistetty morfismi $g\circ f$ objektista $A$ objektiin $C$.

Suuri osa matematiikassa tutkittavista rakenteista voidaan nähdä kategorioina, mistä tunnetuin esimerkki lienee joukkojen ja funktioiden muodostama kategoria. Esimerkit eivät kuitenkaan rajoitu tähän, vaan kategorioita voidaan tutkia myös abstraktimmalla tasolla, ilman että oletetaan taustalla olevaa muuta matemaattista rakennetta. Matematiikan osa-alue, joka tutkii kategorioita, on kategoriateoria.

Määritelmä

Kategoria $𝒞$ koostuu seuraavista:

• luokka objekteja, jota merkitään $Obj(𝒞)$;
• jokaiselle objektiparille $A,B\in Obj(𝒞)$, luokka morfismeja $A$:sta $B$:hen, jota merkitään $hom(A,B)$ tai $𝒞(A,B)$; morfismia $f\in 𝒞(A,B)$ merkitään yleisesti $f:A\to B$, ja objekteja $A$ ja $B$ kutsutaan morfismin $f$ lähtö- ja maaliobjektiksi; luokkaa, joka koostuu kaikista $𝒞$:n morfismeista merkitään $Mor(𝒞)$;
• jokaiselle objektille $A\in Obj(𝒞)$ on olemassa identiteettimorfismi $i{d}_A:A\to A$;
• jokaiselle morfismiparille $f:A\to B$ ja $g:B\to C$ siten että $f$:n maaliobjekti on sama kuin $g$:n lähtöobjekti on olemassa yhdiste $g\circ f:A\to C$

siten että kaksi ehtoa pätevät:

• liitäntälaki: kaikille morfismeille $f:A\to B$, $g:B\to C$ ja $h:C\to D$ pätee

$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$,

• identiteettilaki: kaikille morfismeille $f:A\to B$ pätee

$f\circ i{d}_A=f$ ja $i{d}_B\circ f=f$.

Liitäntälain perusteella sulkeet voidaan jättää merkitsemättä useiden peräkkäisten yhdisteiden sarjassa. Yhdisteen symboli $\circ$ jätetään usein merkitsemättä, ja yhdiste merkitään tällöin $gf$. Identiteettilain seurauksena jokaisen objektin identiteettimorfismi on yksikäsitteinen: jokaiselle objektille on olemassa täsmälleen yksi morfismi, jolle identiteettilaki pätee.

Peruskäsitteitä

Kategoria $𝒞$ on

• pieni, jos $Mor(𝒞)$ on joukko (eikä siis aito luokka),
• suuri, jos se ei ole pieni,
• lokaalisti pieni, jos jokainen $hom(A,B)$ on joukko,
• äärellinen, jos $Mor(𝒞)$ on äärellinen joukko
• lokaalisti äärellinen, jos jokainen $hom(A,B)$ on äärellinen joukko,
• diskreetti, jos jokainen morfismi on identiteettimorfismi.

Erityisiä objekteja

Jonkin kategorian objekti $O$ on

• alkuobjekti, jos jokaiselle objektille $B$ on olemassa täsmälleen yksi morfismi $O\to B$,
• loppuobjekti, jos jokaiselle objektille $B$ on olemassa täsmälleen yksi morfismi $B\to O$,
• nollaobjekti, jos $O$ on sekä alku- että loppuobjekti.

Erityisiä morfismeja

Jonkin kategorian morfismi $f:A\to B$ on

• monomorfismi, jos kaikille morfismeille $h,g:C\to A$, joille $fh=fg$ pätee $h=g$,
• epimorfismi, jos kaikille morfismeille $h,g:B\to C$, joille $hf=gf$ pätee $h=g$,
• nollamorfismi, jos kategoriassa on nollaobjekti $0$, ja $f=hg$, jossa $g:A\to 0$ ja $h:0\to B$ ovat nollaobjektin yksikäsitteisiä morfismeja,
• isomorfismi, jos on olemassa morfismi $g:B\to A$ siten että $gf=i{d}_A$ ja $fg=i{d}_B$; morfismia $g$ sanotaan tällöin $f$:n käänteismorfismiksi; sillä jokaiselle morfismille on olemassa korkeintaan yksi käänteismorfismi, sitä voidaan yksiselitteisesti merkitä $f^{-1}$, mikäli se on olemassa.

Jokainen isomorfismi on sekä mono- että epimorfismi, muttei käänteisesti: on olemassa kategorioita, joissa morfismi voi olla mono- ja epimorfismi muttei isomorfismi (esimerkiksi topologiset avaruudet).

Jokainen identiteettimorfismi on isomorfismi, joka on itse oma käänteismorfisminsa. Isomorfismia, jonka lähtöobjekti on sama kuin maaliobjekti kutsutaan joskus automorfismiksi.

Esimerkkejä

Kategoria on hyvin perustavanlaatuinen käsite, joten esimerkkejä kategorioista löytyy lähes jokaiselta matematiikan osa-alueelta. Näin ollen seuraava esimerkkilista on väistämättä puutteellinen, mutta se kuvaa hyvin kuinka yleisestä käsitteestä on kyse. Kussakin esimerkissä on ensiksi annettu objektien luokka ja toiseksi morfismien luokka:

• joukot ja funktiot,
• vektoriavaruudet ja lineaarikuvaukset,
• topologiset avaruudet ja jatkuvat funktiot,
• metriset avaruudet ja jatkuvat funktiot,
• ryhmät ja ryhmähomomorfismit,
• mitta-avaruudet ja mitalliset funktiot.

Kaikissa yllä listatuissa esimerkeissä kategorian rakenne muodostuu joukoista, joilla on määritelty jokin rakenne, kuten ryhmä tai topologia (objektit) ja tämän rakenteen säilyttävistä funktioista (morfismit). Alla on joitakin esimerkkejä, jossa näin ei ole.

• joukot ja binäärirelaatiot,
• mikä tahansa osittain järjestetty joukko, jonka alkiot ovat objekteja ja relaatiot $a\le b$ morfismeja,
• mikä tahansa esijärjestys, jonka objektit ja morfismit määritellään samalla tavalla kuin osittain järjestetylle joukolle.

Kategorioita voidaan myös käyttää muiden matemaattisten käsitteiden määrittelyyn, esimerkiksi:

• monoidi on (lokaalisti pieni) kategoria, jossa on täsmälleen yksi objekti (morfismit nähdään tällöin monoidin alkioina),
• grupoidi on kategoria, jossa jokainen morfismi on isomorfismi,
• ryhmä on (lokaalisti pieni) kategoria, jossa on täsmälleen yksi objekti ja jokainen morfismi on isomorfismi,
• esijärjestys on (pieni) kategoria, jossa jokaisen järjestetyn objektiparin välillä on enintään yksi morfismi,
• osittain järjestetty joukko on (pieni) kategoria, jossa minkä tahansa kahden objektin välillä on enintään yksi morfismi.

Lähteet

• Alakoskela, Riina. Epäarkhimediset valuaatiot ja Monskyn lause. Pro gradu -tutkielma. Helsingin yliopisto. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Joulukuu 2020. Viitattu 20.8.2021.
• Leinster, Tom. Basic Category Theory. Cambridge studies in advanced mathematics 143. Cambridge University Press. 2014. Malline:ISBN. Verkkoversio. Malline:En
• Niskanen, Markus. Liittofunktorit. Pro gradu -tutkielma. Tampereen yliopisto. Luonnontieteiden tiedekunta. Matematiikka. Marraskuu 2017. Viitattu 20.8.2021.
• Riehl, Emily. Category Theory in Context. Dover Publications. 2016. Malline:ISBN. Verkkoversio. Malline:En