Monoidi

Monoidi on algebrallinen rakenne, joka koostuu joukosta $S$ ja sen alkioihin liittyvästä binäärioperaatiosta $*$ (merkitään $(S,*)$) jotka toteuttavat seuraavat ehdot:

1. Suljettu: kaikilla $a,b\in S$ siten, että $a*b\in S$.
2. Assosiatiivisuus: kaikilla $a,b,c\in S$ siten, että $(a*b)*c=a*(b*c)$.
3. Neutraalialkio: kaikilla $a\in S$ on olemassa $e\in S$ siten, että $e*a=a*e=a$.

Toisin sanoen monoidi on puoliryhmä, jossa on neutraalialkio.

Esimerkkejä:

1. Luonnollisten lukujen joukko muodostaa monoidin yhteenlaskun suhteen nolla-alkionaan $0$, ja kertolaskun suhteen yksikköalkionaan $1$.
2. Merkkijonot operaationa niiden yhdistäminen on monoidi, jossa neutraalialkio on tyhjä merkkijono.

Monoidi on vaihdannainen, jos operaatio on vaihdannainen. Yllä ensimmäinen esimerkki on vaihdannainen: esimerkiksi $2+3=3+2$ ja $4*5=5*4$, ja sama pätee kaikilla luvuilla. Toinen esimerkki ei ole, merkkijonojen "xy" ja "ab" yhdiste on "xyab" mutta toisinpäin "abxy".

Moni algebrallinen rakenne sisältää monoidin osana määritelmäänsä, esimerkiksi ryhmä, rengas ja kunta.