Jacobin polynomi

Malline:LähteetönMatematiikassa Jacobin polynomit ovat luokka ortogonaalisia polynomeja. Ne saadaan hypergeometrisista sarjoista, missä sarjasta otetaan mukaan vain äärellisen monta termiä:

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(z)=\frac{(\alpha +1{)}_n}{n!}{}_2{F}_1(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;\frac{1-z}{2}),$

missä $(\alpha +1{)}_n$ on Pochhammerin symboli), (Abramowitz & Stegun p561.) ja siten sillä on olemassa eksplisiittinen lauseke

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +n+1)}{n!\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+1)}\sum _{m=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+m+1)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +m+1)}{\left(\frac{z-1}{2}\right)}^m,$

missä

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n}).$

Tässä kokonaisluvulle $n$ on voimassa

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{n})=\frac{\mathrm{\Gamma }(z+1)}{\mathrm{\Gamma }(n+1)\mathrm{\Gamma }(z-n+1)},$

ja $\mathrm{\Gamma }(z)$ on Gammafunktio, jolle $1/\mathrm{\Gamma }(n+1)=0$ kaikilla $n=-1,-2,\dots$. Siten

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{n})=0\text{for}n<0.$

Polynomit toteuttavat ortogonaalisuusehdon

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta }{P}_m^{(\alpha ,\beta )}(x)P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)dx=\frac{2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)\mathrm{\Gamma }(n+\beta +1)}{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +\beta +1)n!}{\delta }_{nm},$

kun $\alpha >-1$ ja $\beta >-1$.

Polynomeilla on symmetrisyysehto

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1{)}^n{P}_n^{(\beta ,\alpha )}(z),$ ja siten

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\beta }{n}).$

Reaaliluvuilla $x$ Jacobin polynomi voidaan kirjoittaa muodossa

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _s(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{s})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\beta }{n-s}){\left(\frac{x-1}{2}\right)}^{n-s}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^s,$

missä $s\ge 0$ ja $n-s\ge 0$. Jos neljä suuretta $n$, $n+\alpha$, $n+\beta$, and $n+\alpha +\beta$ ovat epänegatiivisia kokonaislukuja, voidaan Jacobin polynomi kirjoittaa muodossa

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _s{[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!]}^{-1}{\left(\frac{x-1}{2}\right)}^{n-s}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^s.$

Summa voidaan laajentaa kaikille kokonaislukuarvoille, joilla kertomien argumentit ovat epänegatiivisia.

Tämä mahdollistaa Wignerin D-matriisin esittämisen Jacobin polynomiel avulla $d_{m^{\prime }m}^j(\varphi )$ ($0\le \varphi \le 4\pi$) viite: L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)

$d_{m^{\prime }m}^j(\varphi )={\left[\frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m^{\prime })!(j-m^{\prime })!}\right]}^{1/2}{(\sin \frac{\varphi }{2})}^{m-m^{\prime }}{(\cos \frac{\varphi }{2})}^{m+m^{\prime }}{P}_{j-m}^{(m-m^{\prime },m+m^{\prime })}(\cos \varphi ).$

Derivaatat

Jacobin polynomien k:nnes derivaatta johtaa esitykseen

$\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{z}^k}{P}_n^{(\alpha ,\beta )}(z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+1+k)}{2^k\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+1)}{P}_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).$

Differentiaaliyhtälö

Jacobi polynomiat $P_n^{(\alpha ,\beta )}$ ovat ratkaisuna yhtälölle

$(1-x^2)y^{″}+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y^{\prime }+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.$