Greenin teoreema

Greenin teoreema on Stokesin lauseeseen tiiviisti liittyvä lause, jonka mukaan:

${\oint }_{\mathrm{\Gamma }}Pdx+Qdy=\underset{A}{\int }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$,

missä

• $P\equiv P(x,y)$ ja $Q\equiv Q(x,y)$
• $\mathrm{\Gamma }$ on suljettu polku, joka rajaa pinnan A euklidisessa 3-avaruudessa. Polkuintegraali lasketaan vastapäivään, kun sitä katsotaan pinnan ulkopuolelta, ja pinnan normaali osoittaa pinnan ulkopuolelle.

Greenin teoreemaan saavutaan, kun määritellään $𝐅=P(x,y)𝐢+Q(x,y)𝐣$, josta roottori:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐅=(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})𝐤$.

Sovelletaan Stokesin lausetta, kun $\mathrm{\Gamma }$ on suljettu polku tasolla $z=0$:

${\oint }_{\mathrm{\Gamma }}𝐅.d𝐥={\oint }_{\mathrm{\Gamma }}Pdx+Qdy=\underset{A}{\int }(\mathrm{\nabla }\times 𝐅).𝐤dS=\underset{A}{\int }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$.

Teoreema on nimetty brittiläisen George Greenin mukaan.

Kirjallisuutta

• Malline:Verkkoviite