Geronon lemniskaatta

Geronon lemniskaatta, jolla a=1

Geronon lemniskaatta, Huygensin lemniskaatta eli kahdeksikkokäyrä (Malline:K-en) on algebrallisessa geometriassa eräs lemniskaattojen ryhmään kuuluva neljännen asteen käyrä. Se muistuttaa muodoltaan numeroa 8 tai äärettömän merkkiä $\mathrm{\infty }$, ja sen yhtälö on

$x^4=a^2(x^2-y^2)$

Sitä tutki Camille-Christophe Gerono.

Koska käyrän geometrinen genus on nolla, se voidaan parametroida rationaalifunktioilla, esimerkiksi seuraavasti:

$x=\frac{t^2-1}{t^2+1},y=\frac{2t(t^2-1)}{(t^2+1{)}^2}.$

Vaihtoehtoisesti se voidaan parametroida myös seuraavasti:

$x=a\cos \phi ,y=a\sin \phi \cos \phi =\sin (2\phi )/2$.

Kuten tästä ilmenee, Geronon lemniskaatta on samalla myös Lissajous'n käyrän erikoistapaus. Käyrän yhtälö napakoordinaateissa on

$r^2=a^2\cos (2\theta ){\sec }^4(\theta )$.

Geronon lemniskaatan sisään jäävän alueen pinta-ala on

$A=\frac{4}{3}{a}^2$

Geronon lemniskaatan duaalikäyrä, joka voidaan muodostaa Plückerin kaavalla ja joka on alla olevassa kuvassa, on muodoltaan varsin toisenlainen. Sen yhtälö on

$(x^2-y^2{)}^3+8y^4+20x^2{y}^2-x^4-16y^2=0.$

Geronon lemniskaatta

Lähteet

• Malline:Kirjaviite