Fermat’n luku

Fermat’n luku on luku muotoa $F_{n} = 2^{2^{n}} + 1$ , missä n on ei-negatiivinen kokonaisluku. Ensimmäiset Fermat’n luvut ovat:^[1]

F₀ = 2¹	+	1	=	3
F₁ = 2²	+	1	=	5
F₂ = 2⁴	+	1	=	17
F₃ = 2⁸	+	1	=	257
F₄ = 2¹⁶	+	1	=	65 537
F₅ = 2³²	+	1	=	4 294 967 297

Näistä luvut 3, 5, 17, 257 ja 65 537 ovat alkulukuja, mutta F₅ onkin yhdistetty luku. Ei tiedetä, onko Fermat’n lukujen joukossa yhtään alkulukua F₄:n jälkeen. Fermat’n luvut liittyvät läheisesti säännöllisten monikulmioiden konstruoimiseen: Gauss todisti, että säännöllinen monikulmio on mahdollista piirtää harpilla ja viivoittimella, jos ja vain jos monikulmion kulmien lukumäärä on muotoa $2^{k_{0}} F_{k_{1}} F_{k_{2}} \dots F_{k_{n}}$ , missä $F_{k_{1}}, \dots, F_{k_{n}}$ ovat erisuuruisia Fermat’n alkulukuja.

Fermat’n luvut on nimetty harrastelijamatemaatikko Pierre de Fermat’n (1601–1665) mukaan. Tämä itse otaksui, että kaikki Fermat’n luvut olisivat alkulukuja. Otaksuman kumosi Leonhardt Euler vuonna 1732 osoittamalla, että $F_{5} = 641 \cdot 6700417$ . Myöhemmin suuremmillekin Fermat’n luvuille on löydetty alkutekijöitä ja moni lukuteoreetikko uskookin, että muita kuin Fermat’n tuntemia Fermat’n alkulukuja ei merkittävissä määrin ole olemassa.