Erdősin–Straussin konjektuuri

Malline:LähteetönErdősin–Straussin konjektuuri on Paul Erdősin ja E. G. Straussin esittämä egyptiläisiin murto­lukuihin liittyvä väittämä, jonka mukaan Diofantoksen yhtälöllä

$\frac{4}{n}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

on olemassa positiivisista kokonaisluvuista a, b ja c muodostuva kokonaislukuratkaisu kaikilla kokonaisluvuilla $n\ge 2$. Väittämän on osoitettu (A. Swett) pitävän paikkansa kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $n\le 10^{14}$.

Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että yllä olevassa esityksessä $a\le b\le c$.

Helposti todetaan, että kaikilla parillisilla luvun $n$ arvoilla

$\frac{4}{n}=\frac{1}{n/2}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}$.

Yleisemmin, jos alkuluvulla $p$ on esitys

$\frac{4}{p}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$,

niin kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla $m$ on

$\frac{4}{mp}=\frac{1}{ma}+\frac{1}{mb}+\frac{1}{mc}$.

Mahdollisen pienimmän vastaesimerkin etsinnässä voidaan siis keskittyä tarkastelemaan luvun $n$ alkulukuarvoja.

Jos $n\equiv 2$ (mod $3$), voidaan käyttää esitystä

$\frac{4}{n}=\frac{1}{n}+\frac{1}{(n-2)/3+1}+\frac{1}{n((n-2)/3+1)}.$

Jos $n\equiv 3$ (mod $4$), on

$\frac{4}{n}=\frac{1}{(n+1)/4}+\frac{1}{(n^2+n+4)/4}+\frac{1}{n(n+1)(n^2+n+4)/16}.$

Jos $n\equiv 5$ (mod $8$), käytettävissä on esitys

$\frac{4}{n}=\frac{1}{(n+3)/4}+\frac{1}{n(n+3)/8}+\frac{1}{n(n+3)/4}.$

Jos $n\equiv 5$ (mod $12$), käytettävissä on esitys

$\frac{4}{n}=\frac{1}{(n+3)/4}+\frac{1}{n(n+7)/12}+\frac{1}{n(n+3)(n+7)/48}.$