Diofantoksen yhtälö

Diofantoksen yhtälö on kokonaislukukertoiminen vähintään kahden muuttujan polynomiyhtälö, jolle etsitään kokonaislukuratkaisuja. On todistettu, ettei ole olemassa algoritmia, joka selvittäisi yleisessä tapauksessa, onko annetulla Diofantoksen yhtälöllä ratkaisuja. Monia erikoistapauksista sen sijaan on tutkittu ja löydetty ehtoja, joilla ratkaisu on olemassa. Yhtälöä kutsutaan tällä nimellä Diofantos Aleksandrialaisen mukaan.

Yleistä

Yleisen ratkaisumenetelmän mahdottomuuden todisti Juri Matiasevic.

Monet kuuluisat matemaattiset ongelmat pyytävät määrittämään tietyn Diofantoksen yhtälön kaikki ratkaisut tai onko ratkaisuja ylipäätänsä olemassa. Näihin ongelmiin tarvitaan lähes poikkeuksetta kehittyneitä nykymatematiikan menetelmiä, kuten algebrallista geometriaa.

Eräitä erikoistapauksia

• Lineaarinen Diofantoksen yhtälö: Kun $a,b,c\in Z$ ovat annettuja lukuja, onko lukuja $x$ ja $y$ siten, että $ax+by=c$. Ratkaisuja on joko äärettömästi tai ei yhtään sen perusteella onko luku $c$ lukujen $a$ ja $b$ suurimman yhteisen tekijän monikerta. Ratkaisu löytyy Eukleideen algoritmilla.

• Pythagoraan kolmikot ovat lukuja $x,y,z\in Z$ joilla $x^2+y^2=z^2$. Näitä kolmikoita on ääretön määrä.

• Fermat’n suuri lause kysyy Pythagoraan kolmikoiden vastinetta siten, että eksponentti on suurempi kuin 2. Tällaisten lukukolmikoiden olemassaolo todistettiin mahdottomaksi yli 350 vuotta hypoteesin esittämisen lauseen jälkeen. Erikoistapaukset ovat kuitenkin helpompia, näistä $x^4+y^4=z^4$ kaikkein helpoin.

• Pellin yhtälö

• Catalanin otaksuma

• Jos $n$ on annettu luku, on yhtälöllä $xy+xz+yz=n$ lähes aina ratkaisu, jossa $x,y,z\ge 1$. Poikkeuksen muodostaa enintään 19 luvun $n$ arvoa, joista 18. pienin on 462. Jos 19. poikkeus on olemassa, se on suurempi kuin $10^{11}$.

Esimerkkejä

Yhtälöllä $50x+70y=3$ ei selvästi ole ratkaisuja: vasemman puolen arvo on aina kymmenellä jaollinen, oikea puoli ei.

Katso myös

• Hilbertin 10. ongelma

Aiheesta muualla

• https://helda.helsinki.fi/bitstream/handle/10138/42335/Diofantoksen%20yhtalot.pdf?sequence=2