Symmetrinen matriisi

Symmetrinen matriisi on matriisi, joka on itsensä transpoosi. Siten A on symmetrinen jos

$A^{\text{T}}=A$,

jolloin A:n on tietysti oltava neliömatriisi. Symmetrisen matriisin alkiot sijaitsevat symmetrisesti päädiagonaalin suhteen. Jos matriisin alkioita merkitään A = (a_ij), on

$a_{ij}=a_{ji}$

kaikilla indekseillä i ja j. Esimerkiksi seuraava 3×3-matriisi on symmetrinen:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& -4& 5\\ 3& 5& 6\end{array}\right]$

Kaikki lävistäjämatriisit ovat symmetrisiä, sillä kaikki niiden alkiot, jotka eivät ole lävistäjällä, ovat nollia. Matriisia sanotaan vinosymmetriseksi (engl. skew symmetric) jos sen vastamatriisi on A:n transpoosi eli

$A^T=-A$.

Symmetrisillä matriiseilla, ja niitä vastaavilla lineaarikuvauksilla, on muutama erittäin tärkeä ominaisuus:

1. Symmetrisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat reaalisia.
2. Symmetrisen matriisin eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat ortogonaalisia.
3. Symmetrisen matriisin ominaisvektoreista voidaan muodostaa vektoriavaruuden ${ℝ}^n$ ortonormaali kanta.

Näillä ominaisuuksilla on keskeinen asema monissa sovelluksissa, esimerkiksi kvanttimekaniikassa.

Kirjallisuutta

• Malline:Verkkoviite