Karakteristinen polynomi

Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.

Lähtökohta

Annetulle neliömatriisille $A$ on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat $A$:n ominaisarvot.

Päädiagonaalimatriisi

Päädiagonaalimatriisille eli lävistäjämatriisille $A$ karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa $a_i$, missä $i=1,...,n$, niin karakteristinen polynomi on muotoa

$p_A(t)=(t-a_1)(t-a_2)(t-a_3)...(t-a_n)$

Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.

Yleinen tapaus

Yleisen $n\times n$-neliömatriisin $A$ tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Kerroinkunnan alkio (luku) $\lambda$ on matriisin $A$ ominaisarvo, jos ja vain jos on olemassa sellainen vektori (ominaisvektori) $\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$, että

$A\overrightarrow{v}=\lambda \overrightarrow{v}$,

eli

$(\lambda I-A)\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$,

missä $I$ on yksikkömatriisi. Koska vektori $\overrightarrow{v}$ on nollasta eroava, on matriisin $(A-\lambda I)$ oltava singulaarinen, jolloin sen determinantti on $0$. Tämän determinantista saadun polynomin $\det (tI-A)$ juuret ovat $A$:n ominaisarvoja.

Ominaisarvot löydetään siis polynomiyhtälön

$\det (tI-A)=0$

ratkaisuina.

Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.

Formaali määritelmä

Olkoon $K$ kunta ja $A$ $K$-kertoiminen $n\times n$ -matriisi. Matriisin $A$ karakteristinen polynomi $p_A(t)$ on määritelmän mukaan

$p_A(t)=\det (tI-A)$,

missä $I$ on $n\times n$ yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla $\det (A-tI)$. Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi luvulla $\pm 1$.

Esimerkki

Lasketaan matriisin

$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 0\end{array}\right).$

karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:

$\det (tI-A)=\det \left(\begin{array}{cc}t-2& -1\\ 1& t\end{array}\right).$

Tämä determinantti on

$(t-2)t-1\cdot (-1)=t^2-2t+1.$

Tämä on $A$:n karakteristinen polynomi, missä $t$ on matriisin ominaisarvo.

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite
• Malline:Verkkoviite