Kuutiojuuri

$y=\sqrt[3]{x}$

Luvun x kuutiojuuri (merkitään $\sqrt[3]{x}$ tai x^1/3) on luku a niin, että a korotettuna kolmanteen potenssiin on x. Esimerkiksi luvun $27$ kuutiojuuri on

$\sqrt[3]{27}=3,$

sillä $3\cdot 3\cdot 3=3^3=27.$

Kuutioluku on kokonaisluku, jonka kuutiojuuri on myös kokonaisluku.

Geometrisia sovelluksia

Jos kuution tilavuus V tunnetaan, kuution särmän pituus on tämän tilavuuden kuutiojuuri,

$s=\sqrt[3]{V}$.

Kompleksiluvun kuutiojuuri

Kuutiojuuren käsite voidaan yleistää myös kompleksiluvuille. Jokaista kompleksilukua x + yi kohti, nollaa lukuun ottamatta, on kolme sellaista kompleksilukua u + vi, joiden kuutio on x + yi. Esimerkiksi kompleksiluvun 1 (=1 + 0i) kuutiojuuret ovat $1$, $-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$ ja $-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Kuutiojuuren pääarvoksi sanotaan sitä juurta, jolla on itseisarvoltaan pienin argumentti.

Useimmissa tapauksissa kompleksiluvun x+yi kuutiojuuren arvojen $u+vi=\sqrt[3]{x+yi}$ reaali- ja imaginaariosia u ja v ei kuitenkaan voida esittää x:n ja y:n algebrallisena lausekkeena. Sen sijaan ne voidaan määrittää trigonometristen funktioiden ja De Moivren kaavan avulla.

Tämä perustuu siihen, että kompleksiluku voidaan esittää myös napakoordinaateissa, sen itseisarvon (moduulin, r) ja vaihekulman (argumentin, $\varphi$) avulla:

$x+yi=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$,

missä

$r=\sqrt{x^2+y^2}$ ja

$\varphi =\arccos \frac{x}{r}=\arcsin \frac{y}{r}=\arctan \frac{y}{x}$.

Geometrisesti kompleksiluvun moduuli merkitsee sen kompleksitasolla olevan vastinpisteen etäisyyttä origosta, argumentti taas origosta kyseiseen pisteeseen johtavan suoran ja reaaliakselin (x-akselin) välistä kulmaa.

De Moivren kaavan mukaan

$r(\cos \varphi +i\sin phi{)}^n=r^n(\cos n\varphi +i\sin n\varphi )$,

ja erityisesti

$r(\cos \varphi +i\sin phi{)}^3=r^3(\cos 3\varphi +i\sin 3\varphi )$

josta saadaan kääntäen:

$\sqrt[3]{r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}=\sqrt[3]{r}(\cos \frac{phi}{3}+i\sin \frac{\varphi }{3})$

Toisin sanoen kompleksiluvun kuutiojuuren moduuli on alkuperäisen kompleksiluvun x + bi moduulista ja argumentti kolmasosa alkuperäisen kompleksiluvun argumentista. Näin saadaan kuutiojuuren pääarvo. Kun kompleksiluvun argumenttiin kuitenkin voidaan lisätä tai vähentää mikä tahansa 2$\pi$:n monikerta tahansa kompleksiluvun arvon pysyessä ennallaan, on kaksi muutakin kompleksilukua, joiden kuutio on sama, nimittäin: $\sqrt[3]{r}(\cos \frac{\varphi }{3}+i\sin \frac{\varphi +2\pi }{3})$ ja $\sqrt[3]{r}(\cos \frac{\varphi }{3}+i\sin \frac{\varphi -2\pi }{3})$

Näin saadaan kompleksiluvun x + yi kuutiojuurille lausekkeet:

$\sqrt[6]{x^2+y^2}(\cos \frac{\arctan \frac{y}{x}}{3}+i\sin \frac{\arctan \frac{y}{x}}{3})$,

$\sqrt[6]{x^2+y^2}(\cos \frac{\arctan (\frac{y}{x}+2\pi )}{3}+i\sin \frac{\arctan (\frac{y}{x}+2\pi )}{3})$ ja

$\sqrt[6]{x^2+y^2}(\cos \frac{\arctan (\frac{y}{x}-2\pi )}{3}+i\sin \frac{\arctan (\frac{y}{x}-2\pi )}{3})$.

Katso myös

• Kuutio (algebra)
• Neliöjuuri
• Kuution kahdentaminen
• Juuri (laskutoimitus)