Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan Aiyangar (Malline:K-ta) (22. joulukuuta 1887 Erode, Tamil Nadu, Intia – 26. huhtikuuta 1920 Madras (nyk. Chennai), Tamil Nadu, Intia) oli intialainen matemaatikko.

Ramanujan työskenteli lähinnä analyyttisen lukuteorian ja analyysin parissa, ja tunnetaan lukuisista vakioita ja alkulukuja koskevista kaavoistaan. Hän esitti monia kaavoja ilman muodollisia todistuksia, jotka löydettiin vasta myöhemmin.

Ramanujan julkaisi lukuisia kirjoituksia intialaisissa matemaattisissa julkaisuissa ja yritti sitten saada eurooppalaiset matemaatikot kiinnostumaan työstään. G. H. Hardylle vuonna 1913 lähetetty kirje sisälsi lukuisia lauseita ilman todistusta. Hardy oli ensin epäilevä, mutta kutsui hänet Englantiin, huomaten nopeasti hänen kykynsä. Lukua 1729 kutsutaan heidän mukaansa Hardyn–Ramanujin luvuksi. Luku on tunnettu kaskusta, jonka mukaan Hardy tuli tapaamaan Ramanujania sairaalaan ja kertoi tulleensa taksilla numero 1729. Hardy sanoi sen olevan varsin tylsä luku, mutta Ramanujan osasi heti kertoa luvun olevan pienin kokonaisluku, joka on esitettävissä kahden positiivisen kuution summana kahdella eri tavalla.

The Man Who Knew Infinity on vuonna 2016 julkaistu Robert Kanigelin samannimiseen kirjaan perustuva elämäkertaelokuva pääroolissa Dev Patel. Ramanujanin syntymäpäivä (22. joulukuuta) on vuodesta 2012 ollut Intiassa matematiikan päivä, jolloin juhlitaan matematiikan saavutuksia.

Matemaattiset tulokset

Alkeismatematiikka

Ramanujan todisti monia alkeellisia mutta kiehtovia tuloksia:

$(3x^2+5xy-5y^2{)}^3+(4x^2-4xy+6y^2{)}^3+(5x^2-5xy-3y^2{)}^3=(6x^2-4xy+4y^2{)}^3$

$\sqrt{(n+a{)}^2+xa+x\sqrt{(n+a{)}^2+(x+n)a+(x+n)\sqrt{(n+a{)}^2+(x+2n)a+(x+2n)\sqrt{\dots }}}}$
$=x+n+a.$

Hän kehitti monia approksimaatioita piille:

$\frac{9}{5}+\sqrt{\frac{9}{5}}=3.1416^{+}$

$\sqrt[4]{3^4+2^4+\frac{1}{2+(\frac{2}{3}{)}^2}}=\sqrt[4]{\frac{2143}{22}}=3.141592652^{+}.$

Identiteettejä juurille:

$\sqrt[4]{\frac{3+2\sqrt[4]{5}}{3-2\sqrt[4]{5}}}=\frac{\sqrt[4]{5}+1}{\sqrt[4]{5}-1}=\frac{1}{2}(3+\sqrt[4]{5}+\sqrt{5}+\sqrt[4]{125}),$

$\sqrt{\sqrt[3]{28}-\sqrt[3]{27}}=\frac{1}{3}(\sqrt[3]{98}-\sqrt[3]{28}-1),$

$\sqrt[3]{\sqrt[5]{\frac{32}{5}}-\sqrt[5]{\frac{27}{5}}}=\sqrt[5]{\frac{1}{25}}+\sqrt[5]{\frac{3}{25}}-\sqrt[5]{\frac{9}{25}},$

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}.$

Kombinatoriikka

Ramanujan tutki Bernoullin lukuja ja löysi monia kiehtovia ominaisuuksia:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+3}{m})B_m=\{\begin{array}{cc}\frac{m+3}{3}-\sum _{j=1}^{m/6}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+3}{m-6j})B_{m-6j},& \text{jos}m\equiv 0(\mathrm{mod}6);\\ \frac{m+3}{3}-\sum _{j=1}^{(m-2)/6}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+3}{m-6j})B_{m-6j},& \text{jos}m\equiv 2(\mathrm{mod}6);\\ -\frac{m+3}{6}-\sum _{j=1}^{(m-4)/6}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+3}{m-6j})B_{m-6j},& \text{jos}m\equiv 4(\mathrm{mod}6).\end{array}$

Äärettömät sarjat

Ramanujan löysi monia äärettömiä sarjoja piille:

$\frac{1}{\pi }=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!{)}^{4}396^{4k}}.$

Toinen hänen tuloksistaan äärettömille sarjoille on

${[1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (n\theta )}{\cosh (n\pi )}]}^{-2}+{[1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cosh (n\theta )}{\cosh (n\pi )}]}^{-2}=\frac{2{\mathrm{\Gamma }}^4\left(\frac{3}{4}\right)}{\pi }$

kaikille $\theta$, missä $\mathrm{\Gamma }(z)$ on gammafunktio. Hän todisti myös monia tuloksia hypergeometrisille sarjoille, kuten:

$1-5{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+9{\left(\frac{1\times 3}{2\times 4}\right)}^3-13{\left(\frac{1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}\right)}^3+\cdots =\frac{2}{\pi }$

$1+9{\left(\frac{1}{4}\right)}^4+17{\left(\frac{1\times 5}{4\times 8}\right)}^4+25{\left(\frac{1\times 5\times 9}{4\times 8\times 12}\right)}^4+\cdots =\frac{2^{\frac{3}{2}}}{{\pi }^{\frac{1}{2}}{\mathrm{\Gamma }}^2\left(\frac{3}{4}\right)}.$

Ensimmäinen tulos oli jo tunnettu, mutta toinen oli todennäköisesti uusi.

Integraalit

Ramanujan laski monia mielenkiintoisia integraaleja, kuten

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1+x^2/(b+1{)}^2}{1+x^2/(a{)}^2}\times \frac{1+x^2/(b+2{)}^2}{1+x^2/(a+1{)}^2}\times \cdots dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\times \frac{\mathrm{\Gamma }(a+\frac{1}{2})\mathrm{\Gamma }(b+1)\mathrm{\Gamma }(b-a+\frac{1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b+\frac{1}{2})\mathrm{\Gamma }(b-a+1)}.$

Ketjumurtoluvut

Ramanujan löysi suuren määrän kaavoja ketjumurtoluvuille:

$1+\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}+\cdots +\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{4}{1+\frac{5}{1+\cdots }}}}}}=\sqrt{\frac{e\cdot \pi }{2}}$

$\sqrt{\phi +2}-\phi =\frac{e^{-2\pi /5}}{1+\frac{e^{-2\pi }}{1+\frac{e^{-4\pi }}{1+\frac{e^{-6\pi }}{1+\cdots }}}}$

missä $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ on kultainen leikkaus;

$\frac{1}{1+\frac{e^{-2\pi \sqrt{5}}}{1+\frac{e^{-4\pi \sqrt{5}}}{1+\frac{e^{-6\pi \sqrt{5}}}{\ddots }}}}=(\frac{\sqrt{5}}{1{+}^5\sqrt{5^{\frac{3}{4}}(\frac{\sqrt{5}-1}{2}{)}^{\frac{5}{2}}-1}}-\frac{\sqrt{5}+1}{2})\cdot e^{2\pi /\sqrt{5}}.$

Q-sarjat

${}_1{\psi }_1[\begin{array}{c}a\\ b\end{array};q,z]=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a;q{)}_n}{(b;q{)}_n}{z}^n=\frac{(b/a,q,q/az,az;q{)}_{\mathrm{\infty }}}{(b,b/az,q/a,z;q{)}_{\mathrm{\infty }}}$

jos |q| < 1 ja |b/a| < |z| < 1.

Rogersin–Ramanujanin identiteetit:

$G(q)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n^2}}{(q;q{)}_n}=\frac{1}{(q;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}(q^4;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}=1+q+q^2+q^3+2q^4+2q^5+3q^6+\cdots$

ja

$H(q)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n^2+n}}{(q;q{)}_n}=\frac{1}{(q^2;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}(q^3;q^5{)}_{\mathrm{\infty }}}=1+q^2+q^3+q^4+q^5+2q^6+\cdots$ .

Muita q-sarjoja:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}p(5k+4)q^k=5\frac{(q^5{)}_{\mathrm{\infty }}^5}{(q{)}_{\mathrm{\infty }}^6}$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}p(7k+5)q^k=7\frac{(q^7{)}_{\mathrm{\infty }}^3}{(q{)}_{\mathrm{\infty }}^4}+49q\frac{(q^7{)}_{\mathrm{\infty }}^7}{(q{)}_{\mathrm{\infty }}^8}$

missä p(n) on partitiofunktio. Tästä saadaan korollaareina kongruenssit

$p(5k+4)\equiv 0(\mathrm{mod}5)$

$p(7k+5)\equiv 0(\mathrm{mod}7).$

Ramanujan löysi myös kolmannen kongruenssin:

$p(11k+6)\equiv 0(\mathrm{mod}11).$

Eisenstein-sarjat

Määritellään

$L(q)=1-24\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n{q}^n}{1-q^n}=E_2(\tau )$

$M(q)=1+240\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^3{q}^n}{1-q^n}=E_4(\tau )$

$N(q)=1-504\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^5{q}^n}{1-q^n}=E_6(\tau ),$

silloin on

$q\frac{dL}{dq}=\frac{L^2-M}{12}$

$q\frac{dM}{dq}=\frac{LM-N}{3}$

$q\frac{dN}{dq}=\frac{LN-M^2}{2}.$

Nämä kaavat johtavat korollaareihin aritmeettisille funktioille.

Lähteet

• Malline:Kirjaviite

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite

Aiheesta muualla

• Malline:Verkkoviite