Hitausmomentti

Vauhtipyörissä on suuri hitausmomentti, mikä tasaa koneen epätasaista käyntiä.

Hitausmomentti eli inertiamomentti (tunnus J tai I) vastaa pyörivässä liikkeessä etenemisliikkeen massaa. Hitausmomentin SI-järjestelmän mukainen yksikkö on kg·m² (kilogramma kertaa metri toiseen). Mitä suurempi kappaleen hitausmomentti on, sitä suurempi momentti vaaditaan, jotta kappale saadaan kiihtymään halutulla kulmakiihtyvyydellä.

Hitausmomentilla (tarkemmin tasopinnan hitausmomentilla) tarkoitetaan joskus lujuusopissa myös jäyhyyttä.

Matemaattinen määritelmä

Etäisyydellä r pyörimisakselista oleva pistemäisen massan m hitausmomentti on

$J=m{r}^2.$

Useista pienistä massoista koostuvassa systeemissä hitausmomentti on kaikkien yksittäisten massojen aiheuttamien hitausmomenttien summa:

$J=\sum _i{m}_i{r}_i^2.$

Jatkuva massajakauma koostuu äärettömästä määrästä pistemäisiä massoja. Kappaleen kokonaishitausmomentti saadaan integroimalla kaikki massat kolmiulotteisen avaruuden yli:

$J=\int r^{2}dm,$

missä $dm$ on tiheysjakauma tilan yli. Koska $m=\rho V$, saadaan

$dm=\rho dV.$

Erilaisten kappaleiden hitausmomentteja

• Massattoman varren päässä oleva pieni kappale: J = mr², jossa r on kohtisuora etäisyys pyörimisakselista ja m kappaleen massa
• Tanko, joka toimii heilurina pyörimisakselin ollessa tangon toisessa päässä, hitausmomentti J = 1/3 · ml², jossa l on tangon pituus
• Tangon, jonka pyörimisakseli on keskipisteessä, hitausmomentti J = 1/12 · ml²
• Ympyrälevyn ja umpinaisen sylinterin hitausmomentti J = 1/2 · mr²
• Ympyrärenkaan ja ohutseinäisen sylinterin hitausmomentti J = mr²
• Umpinaisen pallon hitausmomentti J = 2/5 · mr²
• Ohutseinäisen pallon hitausmomentti J = 2/3 · mr²

Hitausmomenttitensori

Tarkastellaan jäykkää kappaletta, joka koostuu $n$:stä kappaleesta, joiden massat ovat $m_{\alpha }$, missä $\alpha =1,2,3,\dots ,n$. Oletetaan, että kappale pyörii hetkellisesti kulmanopeudella $\overrightarrow{\omega }$ jonkin kappaleeseen kiinnitetyn pisteen suhteen. Jos tämä kiinnitetty piste liikkuu suoraviivaisesti nopeudella $\overrightarrow{v}$ ulkoisen tarkastelijan koordinaatistossa, on minkä tahansa massapisteen nopeus

${\overrightarrow{v}}_{\alpha }=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}_{\alpha }$,

missä ${\overrightarrow{r}}_{\alpha }$ kyseisen pisteen paikkavektori kappaleen omassa koordinaatistossa. Kappaleen kineettinen energia on tällöin

$K=K_{\text{trans}}+K_{\text{rot}}=\frac{1}{2}\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }{v}^2+\frac{1}{2}\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }(\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}_{\alpha }{)}^2$.

Koska ristitulon pituuden neliö voidaan kirjoittaa

${(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})}^2=(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=a^2{b}^2-{(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})}^2$,

on rotaatioenergia on tällöin

$K_{\text{rot}}=\frac{1}{2}\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }({\omega }^2{r}_{\alpha }^2-{(\overrightarrow{\omega }\cdot {\overrightarrow{r}}_{\alpha })}^2)$.

Jaetaan kulmanopeus- ja paikkavektorit komponentteihinsa $\overrightarrow{\omega }=({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3{)}^{𝐓}$ ja ${\overrightarrow{r}}_{\alpha }=(x_{\alpha ,1},x_{\alpha ,2},x_{\alpha ,3}{)}^{𝐓}$. Nyt rotaatioenergia kirjoitetaan muodossa

$K_{\text{rot}}=\frac{1}{2}\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }(\left(\sum _i{\omega }_i^2\right)\left(\sum _k{x}_{\alpha ,k}^2\right)-\left(\sum _i{\omega }_i{x}_{\alpha ,i}\right)\left(\sum _j{\omega }_j{x}_{\alpha ,j}\right))$.

Kroneckerin deltan avulla vektorien komponenteille pätee ${\omega }_i=\sum _j{\omega }_j{\delta }_{ij}$, joten:

$\begin{array}{cc}{K}_{\text{rot}}& =\frac{1}{2}\sum _{\alpha }\sum _{i,j}{m}_{\alpha }({\omega }_i{\omega }_j{\delta }_{ij}\left(\sum _k{x}_{\alpha ,k}^2\right)-{\omega }_i{\omega }_j{x}_{\alpha ,i}{x}_{\alpha ,j})\\ & =\frac{1}{2}\sum _{i,j}{\omega }_i{\omega }_j\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }({\delta }_{ij}\sum _k{x}_{\alpha ,k}^2-x_{\alpha ,i}{x}_{\alpha ,j})\end{array}$

Määritellään $\alpha$-summan $ij$:s termi suureeksi $J_{ij}$, ts.

$J_{ij}=\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }({\delta }_{ij}\sum _k{x}_{\alpha ,k}^2-x_{\alpha ,i}{x}_{\alpha ,j})$.

Tällöin rotaatioenergia voidaan kirjoittaa tutumpaan muotoon:

$K_{\text{rot}}=\frac{1}{2}\sum _{i,j}{J}_{ij}{\omega }_i{\omega }_j=\frac{1}{2}J{\omega }^2$,

missä $J$ on kappaleen hitausmomentti (skalaari). Termejä $J_{ij}$ on yhdeksän kappaletta ja ne voidaan sijoittaa $3\times 3$-matriisin alkioiksi:

$\{𝐉\}=\left\{\begin{array}{ccc}\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }(x_{\alpha ,2}^2+x_{\alpha ,3}^2)& -\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }{x}_{\alpha ,1}{x}_{\alpha ,2}& -\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }{x}_{\alpha ,1}{x}_{\alpha ,3}\\ -\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }{x}_{\alpha ,2}{x}_{\alpha ,1}& \sum _{\alpha }{m}_{\alpha }(x_{\alpha ,1}^2+x_{\alpha ,3}^2)& -\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }{x}_{\alpha ,2}{x}_{\alpha ,3}\\ -\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }{x}_{\alpha ,3}{x}_{\alpha ,1}& -\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }{x}_{\alpha ,3}{x}_{\alpha ,2}& \sum _{\alpha }{m}_{\alpha }(x_{\alpha ,1}^2+x_{\alpha ,2}^2)\end{array}\right\}$

Matriisia $\left\{𝐉\right\}$ kutsutaan hitausmomenttitensoriksi ja se on luonteeltaan tensori. Matriisin lävistäjäalkiot $J_{11}$, $J_{22}$ ja $J_{33}$ ovat kappaleen hitausmomentit $x_1$-, $x_2$- ja $x_3$-akselien suhteen. Jos käytetään koordinaattien $(x_{\alpha ,1},x_{\alpha ,2},x_{\alpha ,3})$ sijaan karteesisia koordinaatteja $(x_{\alpha },y_{\alpha },z_{\alpha })$ ja merkitsemällä $r_{\alpha }^2=x_{\alpha }^2+y_{\alpha }^2+z_{\alpha }^2$, tensori $\left\{𝐉\right\}$ voidaan kirjoittaa helppokäyttöisempään muotoon:

$\{𝐉\}=\left\{\begin{array}{ccc}\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }(r_{\alpha }^2-x_{\alpha }^2)& -\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }{x}_{\alpha }{y}_{\alpha }& -\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }{x}_{\alpha }{z}_{\alpha }\\ -\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }{y}_{\alpha }{x}_{\alpha }& \sum _{\alpha }{m}_{\alpha }(r_{\alpha }^2-y_{\alpha }^2)& -\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }{y}_{\alpha }{z}_{\alpha }\\ -\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }{z}_{\alpha }{x}_{\alpha }& -\sum _{\alpha }{m}_{\alpha }{z}_{\alpha }{y}_{\alpha }& \sum _{\alpha }{m}_{\alpha }(r_{\alpha }^2-z_{\alpha }^2)\end{array}\right\}$

Hitausmomenttitensori on symmetrinen, ts. $J_{ij}=J_{ji}$. Hitausmomenttitensorille pätevät samat matriisien yhteenlaskusäännöt, joten mielivaltaisen muotoisen kappaleen hitausmomenttitensori voidaan rakentaa summaamalla sen eri osien hitausmomenttitensorit. Edelleen, jos kappaleen massajakauma on jatkuva siten, että sen tiheys on $\rho =\rho (\overrightarrow{r})$, niin

$J_{ij}=\underset{V}{\iiint }\rho (\overrightarrow{r})({\delta }_{ij}\sum _k{x}_k^2-x_i{x}_j)\mathrm{d}V$,

missä $\mathrm{d}V=\mathrm{d}{x}_1\mathrm{d}{x}_2\mathrm{d}{x}_3$ on paikkavektorin $\overrightarrow{r}$ osoittamassa pisteessä oleva differentiaalinen tilavuusalkio ja $V$ on kappaleen tilavuus.

Katso myös

• Liikemäärä
• Pyörimismäärä
• Steinerin sääntö