Kroneckerin delta

Kroneckerin delta (${\delta }_{ij}$) on Leopold Kroneckerin mukaan nimetty matemaattinen kahden muuttujan, yleensä kokonaislukumuuttujan funktio, jonka arvo on 1, jos molemmat muuttujat ovat yhtä suuria, muutoin 0. Niinpä esimerkiksi ${\delta }_{12}=0$, mutta ${\delta }_{33}=1$. Kroneckerin delta käsitetään yleensä pikemminkin lyhennysmerkinnäksi kuin varsinaiseksi funktioksi.

Kroneckerin delta ilmaistaan tavanomaisesti yhtälöllä

${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{cc}1,& \text{jos }i=j\\ 0,& \text{jos }i\ne j\end{array}$

Toisinaan käytetään myös yhden muuttujan Kroneckerin deltaa, ${\delta }_i$:

${\delta }_i=\{\begin{array}{cc}1,& \text{jos }i=0\\ 0,& \text{jos }i\ne 0\end{array}$

Kroneckerin deltaa käytetään monilla matematiikan aloilla, etenkin lineaarialgebrassa sekä myös signaalinkäsittelyssä.

Kroneckerin deltan ominaisuuksia

Matemaattisia sarjoja käsiteltäessä Kroneckerin deltalla on se huomattava ominaisuus, että jos j on mielivaltainen kokonaisluku, pätee mille tahansa lukusarjalle $a_i$:

$\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{\delta }_{ij}=a_j$.

Jos kokonaislukujen joukko käsitetään mitta-avaruudeksi, jossa alkioiden lukumäärä ilmaisee osajoukon mitan, tämä yhtälö on analoginen Diracin deltafunktion kanssa, jolle määritelmän mukaan pätee:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\delta (x-y)f(x)dx=f(y),$

Diracin deltafunktio onkin saanut nimensä tämän analogian perusteella.

Kroneckerin delta lineaarialgebrassa

Lineaarialgebrassa yksikkömatriisi on matriisi, jonka päälävistäjällä kaikki luvut ovat ykkösiä, muualla nollia:

$I_1=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right],I_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\cdots ,I_n=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

Näin ollen matriisin i:nnellä rivillä j:nnessä sarakkeessa oleva alkio $I_{ij}$ on 1, jos i = j, muutoin 0, toisin sanoen se on aina sama kuin Kroneckerin delta ${\delta }_{ij}$. Tämä matriisi voidaankin kirjoittaa lyhyesti muotoon $({\delta }_{ij}{)}_{i,j=1}^n$,

missä n on matriisin sarakkeiden ja samalla rivien lukumäärä.

Matriiseja käytetään ilmaisemaan lineaarikuvausten. Tämä Kroneckerin delta-matriisi vastaa tällöin identtistä kuvausta.

Integraaliesityksiä

Funktioteoreettisessa residylaskennassa on muutamia tärkeitä integraaleja, joiden arvo voidaan aina ilmaista Kroneckerin deltan avulla. Tällainen on erityisesti seuraava:

${\delta }_{x,n}=\frac{1}{2\pi i}\oint z^{x-n-1}dz,$

missä integrointi on suoritettu vastapäivään kompleksitason origon ympäri. Tämä voidaan yhtäpitävästi esittää myös seuraavasti:

${\delta }_{x,n}=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{i(x-n)\phi }d\phi ,$

mikä vastaa kompleksitason kiertoa origon ympäri.

Määritelmän laajennus

Samaan tapaan voidaan määritellä myös useamman lukuparin ($i_n,j_n$) Kroneckerin delta seuraavasti:

${\delta }_{i_1{i}_2\dots i_n}^{j_1{j}_2\dots j_n}=\prod _{k=1}^n{\delta }_{i_k{j}_k}.$

Tämä on 1, jos vain jos jokaisessa lukuparissa ($i_n,j_n$ on i_n = j_n, muutoin 0.

Digitaalinen signaalinkäsittely

Kroneckerin deltaa käytetään myös digitaalisessa signaalinkäsittelyssä, jossa se käsitetään kokonaislukujen joukossa $\mathbb{Z}$ määritellyksi funktioksi $\delta [n]=\{\begin{array}{cc}1,& n=0\\ 0,& n\ne 0.\end{array}$

Kroneckerin deltasta käytetään signaalinkäsittelyssä myös nimitystä impulssi tai yksikköimpulssi.

Signaalinkäsittelyssä käytetään joko Kroneckerin deltaa tai Diracin deltafunktiota riippuen siitä, onko signaali jatkuva vai diskreetti. Niinpä merkintää $\delta (t)$ käytetään jatkuvien signaalien yhteydessä, kun taas argumentteja i, j, k, l, m ja n käytetään diskreeteille impulsseille. Toinen yleinen käytäntö on merkitä diskreettiä jonoja hakasuluilla:  $\delta [n]$.

Aiheesta muualla

• Wolfram MathWorld: Kronecker Delta Malline:En
• Drew Rollins: Kronecker Delta, The University of California, Berkeley, August 27, 2006 Malline:Wayback (pdf) Malline:En