Virtafunktio

Virtafunktion tasa-arvokäyrät ovat virtauksen virtaviivoja. Kuvassa on virtaukseen asetetun sylinterin ympärille muodostuvia virtaviivoja.

Virtafunktio on kaksiulotteisen ja kokoonpuristumattoman virtaavan fluidin nopeutta kuvaava funktio. Virtafunktio on apuväline virtauksen jatkuvuusyhtälön sekä Navierin−Stokesin yhtälöiden ratkaisemiseen pienentämällä muuttujien lukumäärä yhteen. Virtafunktion geometrinen tulkinta liittyy virtauksen virtaviivoihin: virtaviivat ovat viivoja, joiden kohdalla virtauksen virtafunktion arvo on vakio.

Määritelmä

Karteesiset koordinaatit

Tarkastellaan virtauksen nopeusvektorikenttää $𝐯(x,y,z)=v_x(x,y,z)𝐢+v_y(x,y,z)𝐣+v_z(x,y,z)𝐤$. Virtausta kuvaava jatkuvuusyhtälö on

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \left(\rho 𝐯\right)=0$,

missä

$\rho$ on virtaavan fluidin tiheys,

$t$ on aika ja

$\mathrm{\nabla }$ on osittaisdifferentiaalioperaattori ''nabla''.

Tässä muodossaan jatkuvuusyhtälössä on neljä muuttujaa: $x$, $y$, $z$ ja $t$. Tarkoituksena on vähentää muuttujien määrää ensin kahteen. Tätä varten virtauksen pitää täyttää tiettyjä yksinkertaistavia ehtoja. Yleisin ehto on se, että virtaus on kaksiulotteista ja kokoonpuristumatonta. Jos oletetaan, että nämä ehdot täyttyvät $xy$-tasossa, niin pätee

$\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}=0$.

Määritellään nyt virtafunktio $\psi (x,y)$ siten, että sama yhtälö voidaan kirjoittaa

$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial \psi }{\partial y}\right)+\frac{\partial }{\partial y}(-\frac{\partial \psi }{\partial x})=0$.

Toisin sanoen virtafunktio on määriteltävä siten, että

$\{\begin{array}{c}{v}_x=\frac{\partial \psi }{\partial y}\\ v_y=-\frac{\partial \psi }{\partial x},\end{array}$

jolloin virtauksen nopeus saa muodon

$𝐯=𝐢\frac{\partial \psi }{\partial y}-𝐣\frac{\partial \psi }{\partial x}$.

Napakoordinaatit

Mikäli fluidin virtaus on kaksiulotteista ja kokoonpuristumatonta ja sen nopeus on määritelty napakoordinaatein $𝐯(r,\theta )=v_r(r,\theta ){\widehat{𝐞}}_r+v_{\theta }(r,\theta ){\widehat{𝐞}}_{\theta }$, on virtafunktio määriteltävä siten, että

$\{\begin{array}{c}{v}_r=\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial \theta }\\ v_{\theta }=-\frac{\partial \psi }{\partial r}.\end{array}$

Sylinterikoordinaatit

Olkoon nyt fluidin virtaus kolmiulotteista ja kokoonpuristumatonta siten, että sen nopeus on vain säteittäistä ja $z$-akselin suuntaista: $𝐯(r,\theta ,z)=v_r(r,\theta ,z){\widehat{𝐞}}_r+v_z(r,\theta ,z)𝐤$. Tällöin virtauksen virtafunktio on määriteltävä siten, että

$\{\begin{array}{c}{v}_r=-\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial z}\\ v_z=\frac{1}{r}\frac{\partial \psi }{\partial r}.\end{array}$

Kokoonpuristuva virtaus

Virtafunktio voidaan määritellä myös kaksiulotteiselle virtaukselle, jossa tiheys ei pysy vakiona. $xy$-tasossa jatkuvuusyhtälöstä tulee tällöin

$\frac{\partial }{\partial x}(\rho v_x)+\frac{\partial }{\partial y}(\rho v_y)=0$.

Nyt virtafunktio määritellään yksinkertaisesti siten, että

$\{\begin{array}{c}\rho v_x=\frac{\partial \psi }{\partial y}\\ \rho v_y=-\frac{\partial \psi }{\partial x}.\end{array}$

Virtafunktion ominaisuuksia

Virtaviiva

Kaksiulotteisen virtauksen virtaviivoja ovat ne käyrät, jotka ovat kaikkialla virtauksessa sen nopeusvektorin tangentin suuntaisia. Nämä käyrät noudattavat yhtälöä

$\frac{\mathrm{d}x}{v_x}=\frac{\mathrm{d}y}{v_y}$,

eli $v_x\mathrm{d}y-v_y\mathrm{d}x=0$. Sijoittamalla virtafunktio tähän yhtälöön saadaan

$\frac{\partial \psi }{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial \psi }{\partial y}\mathrm{d}y=0$.

Toisaalta yhtälön vasen puoli on ketjusäännön nojalla virtafunktion differentiaali:

$\mathrm{d}\psi =\frac{\partial \psi }{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial \psi }{\partial y}\mathrm{d}y$.

Virtafunktion differentiaalille siis pätee

$\mathrm{d}\psi =0$,

eli virtafunktion arvo on vakio virtaviivalla. Virtafunktion geometrinen tulkinta on siis se, että sen tasa-arvokäyrät ovat virtauksen virtaviivoja.

Tilavuusvuo

Virtafunktio on fysikaalinen tulkinta on virtaukseen kuvitellun tarkkailupinnan differentiaalisen pienen alueen läpi kulkeva tilavuusvuo $\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_V=(𝐯\cdot \widehat{𝐧})\mathrm{d}A=\mathrm{d}\psi$. Kolmiulotteinen tarkkailupinta on tässä kuvattu ylhäältä päin.

Virtafunktion fysikaalinen tulkinta liittyy virtauksen tilavuusvuohon

${\mathrm{\Phi }}_V$

(jota ei pidä sekoittaa virtaamaan). Kuvitellaan kaksiulotteiseen ja kokoonpuristumattomaan virtaukseen tarkkailupinta, joka on pystysuorassa virtaukseen nähden ja jonka korkeus

$z$

-akselin suunnassa on 1. Tilavuusvuo tarkkailupinnan differentiaalisen pienen alan läpi on

$\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_V=(𝐯\cdot \widehat{𝐧})\mathrm{d}A$,

missä

$\widehat{𝐧}=𝐢\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}-𝐣\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s}$

on pinnan yksikkönormaali. Korvataan nopeusvektori virtafunktiolla, jolloin

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_V& =(𝐢\frac{\partial \psi }{\partial y}-𝐣\frac{\partial \psi }{\partial x})\cdot (𝐢\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s}-𝐣\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s})\cdot 1\cdot \mathrm{d}s\\ & =\frac{\partial \psi }{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial \psi }{\partial y}\mathrm{d}y\\ & =\mathrm{d}\psi \end{array}$

Kahden virtaviivan, $s_1$ ja $s_2$, rajoittaman tarkkailupinnan osan läpi kulkeutuva tilavuusvuo on tällöin virtafunktioiden erotus:

${\mathrm{\Phi }}_V=\underset{s_1}{\overset{s_2}{\int }}(𝐯\cdot \widehat{𝐧})\mathrm{d}A=\underset{s_1}{\overset{s_2}{\int }}\mathrm{d}\psi =\psi (s_2)-\psi (s_1)$.

Sovelluksia

Roottori

Kaksiulotteisen, kokoonpuristumattoman virtauksen nopeusvektorikentän roottori saadaan virtafunktion ja Laplacen operaattorin avulla:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐯(x,y)=-𝐤{\mathrm{\nabla }}^2\psi (x,y)$,

jossa $𝐤$ on karteesisen koordinaatiston positiivisen $z$-akselin suuntainen yksikkövektori.

Navierin−Stokesin yhtälö

Virtaavan fluidin liikemääräyhtälö, eli Navierin−Stokesin yhtälö on

$\rho \frac{\mathrm{d}𝐯}{\mathrm{d}t}=\rho 𝐠-\mathrm{\nabla }p+\mu {\mathrm{\nabla }}^2𝐯$,

missä

$𝐠$ on putoamiskiihtyvyys,

$p$ on paine ja

$\mu$ on fluidin viskositeetti.

Kun sovelletaan Navierin−Stokesin yhtälöä kaksiulotteiseen ja kokoonpuristumattomaan virtaukseen sekä otetaan roottori yhtälön kummaltakin puolelta, saadaan yhtälö, joka kuvaa virtauksen virtafunktiota $\psi$:

$\frac{\partial \psi }{\partial y}\frac{\partial }{\partial x}\left({\mathrm{\nabla }}^2\psi \right)-\frac{\partial \psi }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}\left({\mathrm{\nabla }}^2\psi \right)=\nu {\mathrm{\nabla }}^2\left({\mathrm{\nabla }}^2\psi \right)$,

missä $\nu =\mu /\rho$ on fluidin kinemaattinen viskositeetti. Näin saadaan yhtälö, jossa on vain muuttuja $\psi$. Toisaalta varjopuolena on se, että näin saatu yhtälö on neljännen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö, jonka ratkaiseminen on, mikäli edes mahdollista, ainakin työlästä.

Laplacen yhtälö

Eräs tärkeä virtafunktion sovellus on kaksiulotteinen, kokoonpuristumaton, kitkaton ja pyörteetön virtaus, jossa siis on edellisten oletusten lisäksi $\nu =0$ ja $\mathrm{\nabla }\times 𝐯=0$. Tätä virtausta kuvaa Laplacen yhtälö

${\mathrm{\nabla }}^2\psi =0$.