Jatkuvuusyhtälö

Jatkuvuusyhtälö eli siirtoyhtälö on yhtälö, joka kuvaa jonkin suureen siirtymistä avaruudessa. Matemaattisesti jatkuvuusyhtälö antaa yhteyden suljetun pinnan sisäänsä sulkeman varauksen ajallisen muutoksen ja pinnan läpi kulkevan nettovirran välille. Fysikaalisissa tieteissä säilyvien suureiden jatkuvuusyhtälöt ovat keskeisessä roolissa.

Esimerkiksi sähkövarauksen $\rho$ ja sähkövirran $𝐣$ välinen jatkuvuusyhtälö voidaan kirjoittaa differentiaalimuodossa

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣=0$,

missä ∇⋅ on divergenssi, ρ on varaustiheys, j on sähkövirta ja t on aika. Jatkuvuusyhtälöt ovat säilymislakien paikallisia yleistyksiä; varauksen jatkuvuusyhtälö ei kerro ainoastaan että kokonaisvaraus ei muutu, mutta myös ettei varaus voi siirtyä yht'äkkisesti paikasta toiseen.

Virtausmekaniikka

Virtausmekaniikassa jatkuvuusyhtälö ilmaisee fluidin massavirran säilymisen vuoputken eri osissa. Staattisessa virtauksessa vuoputken jokaisen osan sisältämän fluidin massa säilyy ajallisesti vakiona. Massavirrat vuoputken virtaviivoja kohtisuorassa vastaan olevien päiden 1 ja 2 läpi ovat täten yhtä suuret, ts.

$\frac{d{m}_1}{dt}=\frac{{\rho }_1{A}_1{v}_{1}dt}{dt}=\frac{d{m}_2}{dt}=\frac{{\rho }_2{A}_2{v}_{2}dt}{dt}$,

missä $\frac{d{m}_1}{dt}$ ja $\frac{d{m}_2}{dt}$ ovat massavirrat aikayksikköä kohti, ${\rho }_1$ ja ${\rho }_2$ fluidin tiheydet, v₁ ja v₂ sen virtausnopeudet sekä A₁ ja A₂ putken poikkipinta-alat sen kummassakin päässä. Tästä saadaan jatkuvuusyhtälö

${\mathit{\rho }}_{\mathrm{𝟏}}{𝐀}_{\mathrm{𝟏}}{𝐯}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{=}{\mathit{\rho }}_{\mathrm{𝟐}}{𝐀}_{\mathrm{𝟐}}{𝐯}_{\mathrm{𝟐}}$

Koska kokoonpuristumattoman nesteen tiheys pysyy vakiona eli ${\rho }_1={\rho }_2$, sen jatkuvuusyhtälö yksinkertaistuu muotoon

${𝐀}_{\mathrm{𝟏}}{𝐯}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{=}{𝐀}_{\mathrm{𝟐}}{𝐯}_{\mathrm{𝟐}}$.

Katso myös

• Säilymislaki