Isogonaalinen konjugaatti

Pisteen P isogonaalinen konjugaatti P^*.

Isogonaalinen konjugaatti $X^{-1}$ on tason piste kolmiossa olevalle pisteelle $X$, joka voidaan muodostaa peilaamalla kolmion kulmanjakajat kulmissa olevien kulmanpuolittajien suhteen. Silloin peilatut janat leikkaavat toisensa isogonaalisessa pisteessä $X^{-1}$. Peilattuja janoja voidaan kutsua isogonaalisiksi janoiksi. Pisteelle on käytössä myös merkinnät $X^{*}$ ja $X^{\prime }$.

Sijainti kolmiossa

Trilineaariset koordinaatit

Isogonaalisten pisteiden trilineaariset koordinaatit ovat toistensa käänteislukuja. Jos merkitään pisteen koordinaatit

$P=x:y:z$,

ovat tämän isogonaalisen konjugaatin koordinaatit

$P^{-1}=x^{-1}:y^{-1}:z^{-1}$.

Tästä on merkinnän negatiivinen yläindeksi peräisin. Toisaalta myös

$(P^{-1}{)}^{-1}=(x^{-1}{)}^{-1}:(y^{-1}{)}^{-1}:(z^{-1}{)}^{-1}=x:y:z=P$,

jolloin trilineaaristen koordinaattien perusteella voidaan ajatella pisteiden $P$ ja $P^{-1}$ olevan toistensa isogonaalisia pisteitä.

Barysentriset koordinaatit

Isogonaalisten pisteiden barysentriset koordinaatit saadaan vastaavasti, kun on

$P=x:y:z$

ja isogonaaliset koordinaatit ovat

$P^{-1}=a^{2}yz:b^{2}xz:c^{2}xy$,

missä $a,bjac$ ovat kolmion sivujen pituuksia.

Esimerkkejä

Seuraavat esimerkit merkillisistä pisteistä ovat toistensa isogonaalisia konjugaatteeja:

• kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste ($I=X_1$) itsensä kanssa ($X_1$)
• kolmion ympäri piiretyn ympyrän keskipiste ($O=X_3$) ja ortokeskus ($H=X_4$)
• symmediaaninen piste ($K=X_6$) ja kolmion painopiste ($G=X_2$)
• Gergonnen piste ($Ge=X_7$) ja piste $X_{55}$
• ensimmäinen Napoleonin piste ($N_1=X_{17}$) ja piste $X_{61}$
• toinen Napoleonin piste ($N_2=X_{18}$) ja piste $X_{62}$
• Nagelin piste ($Na=X_8$) ja piste $X_{56}$
• ensimmäinen Fermat'n piste ($F_1=X_{13}$) ja ensimmäinen isodynaaminen piste ($X_{15}$)

Todistus

Todistetaan isogonaalisen konjugaatin $P^{-1}$ olemassaolo jokaiselle kolmion sisäpisteelle $P$, joka on kolmen kulmanjakajan AA', BB' ja CC' leikkauspisteessä. Isogonaaliset janat merkitään AA", BB" ja CC". Lausekkeet seuraavat oheisen kuvan merkintöjä, jossa suunnattujen janojen positiivinen suunta on vastapäivään eli A → B → C → A. Koska $P$ on janojen leikkauspiste, seuraa Cevan lauseesta

$\frac{A{C}^{\prime }}{C^{\prime }B}\cdot \frac{B{A}^{\prime }}{A^{\prime }C}\cdot \frac{C{B}^{\prime }}{B^{\prime }A}=1.$

Janat sinilausekkeiksi

Sinilauseen avulla voidaan kolmiosta $\mathrm{△}AC{}^{\prime }C$ kirjoittaa Cevan lauseen ensimmäisen osamäärän osoittaja (janat positiivisesti suunnattuina)

$\frac{A{C}^{\prime }}{\sin \measuredangle AC{C}^{\prime }}=\frac{CA}{\sin \measuredangle C{C}^{\prime }A}\iff A{C}^{\prime }=\frac{CA\sin \measuredangle AC{C}^{\prime }}{\sin \measuredangle C{C}^{\prime }A}$

ja kolmiosta $\mathrm{△}C{}^{\prime }BC$ ensimmäisen osamäärän nimittäjä

$\frac{C^{\prime }B}{\sin \measuredangle C^{\prime }CB}=\frac{BC}{\sin \measuredangle B{C}^{\prime }C}\iff C^{\prime }B=\frac{BC\sin \measuredangle C^{\prime }CB}{\sin \measuredangle B{C}^{\prime }C}.$

Koska kulmat $\measuredangle C{C}^{\prime }A$ ja $\measuredangle B{C}^{\prime }C$ ovat vieruskulmia (supplementtikulmat), joiden sinit ovat aina identtiset eli $\sin \measuredangle C{C}^{\prime }A=\sin \measuredangle B{C}^{\prime }C$, saadaan Cevan lauseen ensimmäisestä osamäärästä

$\frac{A{C}^{\prime }}{C^{\prime }B}=\frac{\frac{CA\sin \measuredangle AC{C}^{\prime }}{\sin \measuredangle C{C}^{\prime }A}}{\frac{BC\sin \measuredangle C^{\prime }CB}{\sin \measuredangle B{C}^{\prime }C}}=\frac{\frac{CA\sin \measuredangle AC{C}^{\prime }}{\cancel{\sin \measuredangle C{C}^{\prime }A}}}{\frac{BC\sin \measuredangle C^{\prime }CB}{\cancel{\sin \measuredangle B{C}^{\prime }C}}}=\frac{CA\sin \measuredangle AC{C}^{\prime }}{BC\sin \measuredangle C^{\prime }CB}.$

Vastaavalla tavalla sievennetään kaksi muutakin Cevan lauseen osamäärää

$\frac{B{A}^{\prime }}{A^{\prime }C}=\frac{AB\sin \measuredangle BA{A}^{\prime }}{CA\sin \measuredangle A^{\prime }AC}$

ja

$\frac{C{B}^{\prime }}{B^{\prime }A}=\frac{BC\sin \measuredangle CB{B}^{\prime }}{AB\sin \measuredangle B^{\prime }BA}$

ja sijoitetaan tulokset Cevan lauseeseen ja supistetaan

$\frac{A{C}^{\prime }}{C^{\prime }B}\cdot \frac{B{A}^{\prime }}{A^{\prime }C}\cdot \frac{C{B}^{\prime }}{B^{\prime }A}=1\iff \frac{\cancel{CA}\sin \measuredangle AC{C}^{\prime }}{\cancel{BC}\sin \measuredangle C^{\prime }CB}\cdot \frac{\cancel{AB}\sin \measuredangle BA{A}^{\prime }}{\cancel{CA}\sin \measuredangle A^{\prime }AC}\cdot \frac{\cancel{BC}\sin \measuredangle CB{B}^{\prime }}{\cancel{AB}\sin \measuredangle B^{\prime }BA}=1\iff$

eli

$\frac{\sin \measuredangle AC{C}^{\prime }}{\sin \measuredangle C^{\prime }CB}\cdot \frac{\sin \measuredangle BA{A}^{\prime }}{\sin \measuredangle A^{\prime }AC}\cdot \frac{\sin \measuredangle CB{B}^{\prime }}{\sin \measuredangle B^{\prime }BA}=1.$

Sinilausekkeet isogonaalisiksi janoiksi

Jotta janat AA", BB" ja CC" leikkaisivat isogonaalisessa pisteessä $P^{-1}$, tulisi Cevan lauseen ehdot toteutua

$\frac{A{C}^{″}}{C^{″}B}\cdot \frac{B{A}^{″}}{A^{″}C}\cdot \frac{C{B}^{″}}{B^{″}A}=1.$

Muodostetaan aluksi ensimmäisen osamäärän osoittaja ja nimittäjä, jotka sievennetään edelliseen tapaan. Sinilauseesta seuraa

$\frac{A{C}^{″}}{\sin \measuredangle AC{C}^{″}}=\frac{CA}{\sin \measuredangle C{C}^{″}A}\iff A{C}^{″}=\frac{CA\sin \measuredangle AC{C}^{″}}{\sin \measuredangle C{C}^{″}A}$

ja

$C^{″}B=\frac{BC\sin \measuredangle C^{″}CB}{\sin \measuredangle B{C}^{″}C}.$

Nyt voidaan ensimmäinen osamäärä muodostaa ja supistaa

$\frac{A{C}^{″}}{C^{″}B}=\frac{\frac{CA\sin \measuredangle AC{C}^{″}}{\sin \measuredangle C{C}^{″}A}}{\frac{BC\sin \measuredangle C^{″}CB}{\sin \measuredangle B{C}^{″}C}}=\frac{\frac{CA\sin \measuredangle AC{C}^{″}}{\cancel{\sin \measuredangle C{C}^{″}A}}}{\frac{BC\sin \measuredangle C^{″}CB}{\cancel{\sin \measuredangle B{C}^{″}C}}}=\frac{CA\sin \measuredangle AC{C}^{″}}{BC\sin \measuredangle C^{″}CB}.$

Lauseke muodostuu analogisesti samanmuotoiseksi kuin alussakin. Isogonisilla janoilla on samansuuruisia kulmia, kuten esimerkiksi $\measuredangle AC{C}^{\prime }=\measuredangle C^{″}CB$ ja $\measuredangle C^{\prime }CB=\measuredangle AC{C}^{″},$ jolloin

$\frac{A{C}^{″}}{C^{″}B}=\frac{CA\sin \measuredangle AC{C}^{″}}{BC\sin \measuredangle C^{″}CB}\iff \frac{A{C}^{″}\cdot BC}{C^{″}B\cdot CA}=\frac{\sin \measuredangle AC{C}^{″}}{\sin \measuredangle C^{″}CB}\iff \frac{A{C}^{″}\cdot BC}{C^{″}B\cdot CA}=\frac{\sin \measuredangle C^{\prime }CB}{\sin \measuredangle AC{C}^{\prime }}.$

Kun tätä verrataan Cevan lauseen yhtälöön (1), huomataan samat kulmat sen ensimmäisessä osamäärässä. Kannattaa siis muodostaa muutkin osamäärät, vaihtaa kulmat ($\measuredangle BA{A}^{\prime }=\measuredangle A^{″}AC$ ja $\measuredangle A^{\prime }AC=\measuredangle BA{A}^{″}$ sekä $\measuredangle CB{B}^{\prime }=\measuredangle B^{″}BA$ ja $\measuredangle B^{\prime }BA=\measuredangle CB{B}^{″}$ ) ja sijoittaa yhtälöön janoja esittävät lausekkeet, jolloin tulos saadaan supistamalla. Muut osamäärät ja kulmanvaihdot saadaan analogisesti:

$\frac{B{A}^{″}}{A^{″}C}=\frac{AB\sin \measuredangle BA{A}^{″}}{AC\sin \measuredangle A^{″}AC}\iff \frac{B{A}^{″}\cdot CA}{A^{″}C\cdot AB}=\frac{\sin \measuredangle A^{\prime }AC}{\sin \measuredangle BA{A}^{\prime }}.$

ja

$\frac{C{B}^{″}}{B^{″}A}=\frac{BC\sin \measuredangle CB{B}^{″}}{AB\sin \measuredangle B^{″}BA}\iff \frac{C{B}^{″}\cdot AB}{B^{″}A\cdot BC}=\frac{\sin \measuredangle B^{\prime }BA}{\sin \measuredangle CB{B}^{\prime }}.$

Sijoitus Cevan yhtälöön

$\frac{\sin \measuredangle AC{C}^{\prime }}{\sin \measuredangle C^{\prime }CB}\cdot \frac{\sin \measuredangle BA{A}^{\prime }}{\sin \measuredangle A^{\prime }AC}\cdot \frac{\sin \measuredangle CB{B}^{\prime }}{\sin \measuredangle B^{\prime }BA}=1\iff \frac{C^{″}B\cdot CA}{A{C}^{″}\cdot BC}\cdot \frac{A^{″}C\cdot AB}{B{A}^{″}\cdot CA}\cdot \frac{B^{″}A\cdot BC}{C{B}^{″}\cdot AB}=1\iff$

$\frac{C^{″}B\cdot \cancel{CA}}{A{C}^{″}\cdot \cancel{BC}}\cdot \frac{A^{″}C\cdot \cancel{AB}}{B{A}^{″}\cdot \cancel{CA}}\cdot \frac{B^{″}A\cdot \cancel{BC}}{C{B}^{″}\cdot \cancel{AB}}=1\iff \frac{C^{″}B}{A{C}^{″}}\cdot \frac{A^{″}C}{B{A}^{″}}\cdot \frac{B^{″}A}{C{B}^{″}}=1$

Tämän käänteisluku on vaadittu Cevan lauseen ehto kollineaarisuudelle ja isogonaalisen konjugaatin olemassaololle:

$\frac{A{C}^{″}}{C^{″}B}\cdot \frac{B{A}^{″}}{A^{″}C}\cdot \frac{C{B}^{″}}{B^{″}A}=1.$

Lähteet

• Malline:Kirjaviite

Aiheesta muualla

• Abel, Zachary: Triangle Centers (tehtäviä merkillisistä pisteistä)
• Abel, Zachary: Mean Geometry
• Ballew, Pat: Isogons and Isogonic Symmetry Malline:Wayback
• Royster, David C.: MA 341 – Topics in Geometry Lecture 16, University of Kentucky