Levi-Civita-symboli

Kolmiulotteisen Levi-Civita-symbolin graafinen esitys.

Levi-Civita-symbolia eli permutaatiosymbolia käytetään matematiikassa tietyissä tensorilaskuissa. Se on nimetty italialaisen matemaatikon Tullio Levi-Civitan mukaan.

Määritelmä

Levi-Civita-symbolin alaindeksien permutaatiossa jotkin sen vierekkäin olevan alaindeksit vaihtavat paikkaa keskenään.

Levi-Civita-symboli kolmessa ulottuvuudessa määritellään alaindeksien permutaatioiden kautta seuraavasti

${ϵ}_{ijk}=\{\begin{array}{cc}+1& \text{jos }(i,j,k)\text{ on }(1,2,3),(3,1,2)\text{ tai }(2,3,1),\\ -1& \text{jos }(i,j,k)\text{ on }(3,2,1),(1,3,2)\text{ tai }(2,1,3),\\ 0& \text{jos }i=j,j=k\text{ tai }k=i,\end{array}$

eli Levi-Civita-symboli saa arvon ${ϵ}_{ijk}=1$, jos $(ijk)$ saadaan parillisella permutaatiomäärällä $(1,2,3)$:sta ja arvon ${ϵ}_{ijk}=-1$, jos $(ijk)$ saadaan parittomalla permutaatiomäärällä $(1,2,3)$:sta. Lisäksi, jos Levi-Civita-symbolissa on vähintään kaksi samaa alaindeksiä, se saa arvoksi ${ϵ}_{ijk}=0$.

Levi-Civita-symboli determinantin esityksessä

Levi-Civita-symbolia voidaan käyttää $A$:n $3\times 3$-matriisin determinantin laskemiseen seuraavasti

$detA=\sum _{i,j,k=1}^3{ϵ}_{ijk}{a}_{1i}{a}_{2j}{a}_{3k}$,

missä siis $a$:t ovat matriisin $A$ alkioita.

Levi-Civita-symboli ja Kroneckerin delta

Levi-Civita-symbolin ja Kroneckerin deltan suhteen voi esittää kolmessa ulottuvuudessa seuraavasti

$\sum _{i,j,k=1}^3{ϵ}_{ijk}{ϵ}_{lmn}=\det \left[\begin{array}{ccc}{\delta }_{il}& {\delta }_{im}& {\delta }_{in}\\ {\delta }_{jl}& {\delta }_{jm}& {\delta }_{jn}\\ {\delta }_{kl}& {\delta }_{km}& {\delta }_{kn}\end{array}\right]$

$\sum _{i,j,k=1}^3{ϵ}_{ijk}{ϵ}_{lmn}={\delta }_{il}({\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km})+{\delta }_{im}({\delta }_{jn}{\delta }_{kl}-{\delta }_{jl}{\delta }_{kn})+{\delta }_{in}({\delta }_{jl}{\delta }_{km}-{\delta }_{jm}{\delta }_{kl})$

$\sum _{i,j,k=1}^3{ϵ}_{ijk}{ϵ}_{lmn}={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}$.

Saatua muotoa kutsutaan Levi-Civita-symbolin identiteetiksi.

Katso myös

• Kroneckerin delta