Lukumäärämitta

Malline:Lähteetön Lukumäärämitta tai laskurimitta on mitta, joka kertoo joukon alkioiden lukumäärän. Lukumäärämitta toimii lähinnä yksinkertaisena esimerkkinä mitasta, mutta sen avulla voidaan myös tutkia sarjateoriaa mittateorian perustulosten avulla.

Määritelmä

Jos X on joukko, niin lukumäärämitta on kuvaus $\mu :𝒫(X)\to [0,+\mathrm{\infty }]$, jolle

$\mu (A)=\{\begin{array}{cc}|A|,& \text{jos}A\text{on}\text{aarellinen}\\ +\mathrm{\infty },& \text{muulloin},\end{array}$

missä merkintä |A| tarkoittaa äärellisen joukon alkioiden lukumäärää eli mahtavuutta. Lukumäärämitta toteuttaa mitan ehdot.

Yhteyksiä

• Lukumäärämitalla on yhteys Diracin mittaan: jos $A\subset X$, niin

$\mu (A)=\sum _{x\in A}{\delta }_x(X).$

• Lukumäärämitta yhtyy myös nollaulotteiseen Hausdorffin mittaan:

$\mu ={\mathscr{H}}^0.$

• Lukumäärämittaa voidaan hyödyntää sarjateoriassa. Jos perusavaruus X on numeroituva, eli voimme kirjoittaa $X=\{x_i:i\in \mathbb{N}\}$, niin lukumäärämitan integraali palautuu tavalliseksi sarjaksi: jos $f:X\to ℝ$, niin lukumäärämittaa vastaava mittaintegraali

$\underset{X}{\int }fd\mu =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}f(x_i).$

Tällöin myös funktion f lukumäärämittaintegroituvuus palautuu kysymykseen siitä suppeneeko edellä oleva sarja itseisesti.

Tämän tiedon avulla voimme osoittaa niin sanotun Hölderin epäyhtälön sarjoille käyttämällä $L^p$-normien vastaavaa Hölderin epäyhtälöä.