Eulerin–Mascheronin vakio

Eulerin–Mascheronin vakio on matemaattinen vakio, jota käytetään pääosin lukuteoriassa. Se määritellään harmonisen sarjan ja luonnollisen logaritmin erotuksen raja-arvona:

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\right)-\ln n]=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{\lfloor x\rfloor }-\frac{1}{x})dx$.

Vakiota merkitään yleensä pienellä kreikkalaisella kirjaimella γ (gamma), ja sen likiarvo 20 desimaalin tarkkuudella on 0,57721566490153286061. Ei tiedetä, onko γ rationaali- vai irrationaaliluku. Vakiota kutsutaan myös joskus Eulerin vakioksi, mutta sitä ei pidä sekoittaa e:n, joka tunnetaan paremmin Neperin lukuna, kanssa.

Eulerin–Mascheronin vakio esiintyy muun muassa gammafunktion tulokaavassa, luonnollisen logaritmin Laplacen muunnoksessa, Eulerin φ-funktion epäyhtälössä ja osana Meisselin–Mertensin vakiota.

Historiaa

Eulerin–Mascheronin vakion määritteli ensimmäisenä sveitsiläinen matemaatikko Leonhard Euler paperissaan De Progressionibus harmonicis observationes vuonna 1735. Euler käytti vakiolle merkintöjä C ja O ja laski sen arvon viiden desimaalin tarkkuudella. Vuonna 1781 hän oli laskenut vakion 15 desimaalin tarkkuudella.

Vuonna 1790 italialainen matemaatikko Lorenzo Mascheroni esitti vakiolle merkinnän A ja esitti sen arvon 31 desimaalin tarkkuudella, tosin desimaalit 20:nnestä eteenpäin osoittautuivat virheellisiksi. Mascheroni ei koskaan käyttänyt merkintää γ. Vakiolla on yhteys gammafunktioon.Malline:Selvennä

Joulukuussa 2006 opiskelija Alexander J. Yee laski Eulerin–Mascheronin vakion 116 580 040 desimaalin tarkkuudella.

Integraaleja

$\begin{array}{cc}\gamma & =-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}\ln xdx=-4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}x\ln xdx\\ & =-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln \ln \left(\frac{1}{x}\right)dx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x{e}^x})dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{1-x})dx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{1+x^k}-e^{-x})\frac{dx}{x},k>0\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{kx+1}-e^{-kx})\frac{\mathrm{d}x}{x},k>0\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln (1+x)}{{\ln }^{2}x+{\pi }^2}\cdot \frac{dx}{x^2}\\ & =\frac{1}{2}+2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (\arctan x)}{(e^{2\pi x}-1)\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{H}_{x}dx=-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left(\frac{\ln x}{e^x}\right)dx\end{array}.$

Hieman monimutkaisempia integraaleja:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\ln xdx=-\frac{1}{4}(\gamma +2\ln 2)\sqrt{\pi }$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{\ln }^{2}xdx={\gamma }^2+\frac{{\pi }^2}{6}.$

Kaksoisintegraali gammalle on

$\gamma =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x-1}{(1-xy)\ln (xy)}dxdy=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}-\ln \frac{n+1}{n}).$

Vertaa

$\ln \left(\frac{4}{\pi }\right)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x-1}{(1+xy)\ln (xy)}dxdy=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}(\frac{1}{n}-\ln \frac{n+1}{n}).$

Catalan löysi integraalin

$\gamma =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{2^n-1}dx.$

Äärettömiä sarjoja

Euler todisti kaavan

$\gamma =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}[\frac{1}{k}-\ln (1+\frac{1}{k})].$

Toinen kaava on

$\gamma =1-\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\lfloor {\log }_{2}k\rfloor }{k+1}.$

Giovanni Vacca on todistanut kaavat

$\gamma =\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\lfloor {\log }_{2}k\rfloor }{k}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+2(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7})+3(\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}+\dots -\frac{1}{15})+\dots$

$\gamma +\zeta (2)=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{\lfloor \sqrt{k}{\rfloor }^2}-\frac{1}{k})=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{k-\lfloor \sqrt{k}{\rfloor }^2}{k\lfloor \sqrt{k}{\rfloor }^2}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{1}{2^2}\sum _{k=1}^{2\times 2}\frac{k}{k+2^2}+\frac{1}{3^2}\sum _{k=1}^{3\times 2}\frac{k}{k+3^2}+\dots .$

Toinen kaava on

$\gamma =\ln \pi -4\ln \mathrm{\Gamma }(\frac{3}{4})+\frac{4}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}\frac{\ln (2k+1)}{2k+1}.$

Äärettömiä tuloja

$\frac{e^{1+\gamma /2}}{\sqrt{2\pi }}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-1+1/(2n)}{(1+\frac{1}{n})}^n$

$\frac{e^{3+2\gamma }}{2\pi }=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2+2/n}{(1+\frac{2}{n})}^n.$

$e^{\gamma }={\left(\frac{2}{1}\right)}^{1/2}{\left(\frac{2^2}{1\cdot 3}\right)}^{1/3}{\left(\frac{2^3\cdot 4}{1\cdot 3^3}\right)}^{1/4}{\left(\frac{2^4\cdot 4^4}{1\cdot 3^6\cdot 5}\right)}^{1/5}\cdots .$