Verranto

Verranto on matemaattinen yhtälö, jossa kaksi kahden suureen suhdetta on merkitty yhtä suuriksi. Jos suureita merkitään kirjaimilla A, B, C ja D, kirjoitetaan verranto joko kaksoispisteillä

$A:B=C:D$

tai jakoviivoilla

$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}.$

Molemmat verrannon kirjoitusmuodot luetaan "A:n suhde B:hen on yhtä suuri kuin C:n suhde D:hen" tai vaihtoehtoisesti "A suhtautuu B:hen kuten C suhtautuu D:hen". Kun verrannossa olevat suureet liittyvät verrannollisuuteen, sanotaan "suureiden A ja B olevan verrannolliset suureisiin C ja D". Erotuksena muista verrannollisuuden lajeista tätä kutsutaan myös suoraan verrannollisuudeksi.

Suureita A, B, C ja D kutsutaan verrannon ensimmäiseksi, toiseksi, kolmanneksi ja neljänneksi jäseneksi. Ensimmäinen ja neljäs jäsen ovat verrannon äärimmäiset jäsenet, ja toinen ja kolmas jäsen sen keskimmäiset jäsenet.

Suureiden verrannolliset suhteet verrannoksi

Kahden samanlaatuisen (samat mittayksiköt) suureen A ja B suhde merkitään

$A:B=\frac{A}{B}=k,$

missä k on suhdeluku. Suhde esittää kahta eri tilannetta, jossa verrataan samaa laatua olevia suureita keskenään. Tällainen tilanne on esimerkiksi kahden pinta-alan välinen suhde

$3m^2:6m^2=1:2$

ja suhdeluku k = 1 : 2 = 0,5 on tällöin paljas luku, koska mittayksiköt supistuvat pois.

Kahden erilaatuisen suureiden A ja B suhde merkitään samalla tavalla

$A:B=\frac{A}{B}=k,$

missä k on mittayksiköllinen suure (suhdeluku). Esimerkiksi erään talon $A=3m^2$ suuruisen seinän maalaamiseen kuluu $B=0,25l$ maalia. Suhdeluvuksi saadaan

$\frac{A}{B}=\frac{3m^2}{0,25l}=12\frac{m^2}{l}=k.$

Saman talon toista seinää toisena päivänä maalatessa suureet C ja D ovat erilaiset. Nyt merkitään

$\frac{C}{D}=\frac{6m^2}{0,50l}=12\frac{m^2}{l}=k,$

missä k on edelleen sama, koska maalin kulutus on säilynyt samana. Suhdeluvut ovat samat, joten suureet A ja B sekä C ja D ovat verrannolliset (merkitään $\sim$) ja merkitään suuren mitatuilla arvoilla

$3m^2\sim 0,25l$ ja $6m^2\sim 0,5l$

tai suureiden muuttujilla

$A\sim B$ ja $C\sim D$

tai suureiden nimillä

$\text{pinta-ala}\sim \text{maalin määrä}.$

Matemaattisesti nämä kaksi suhdetta voidaan kirjoittaa verrantoyhtälöksi, koska suhdeluvut täsmäävät

$\frac{A}{B}=k\wedge \frac{C}{D}=k\Rightarrow \frac{A}{B}=\frac{C}{D}.$

Johdetut verrannot

Jos verrantoa

$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$

halutaan muuntaa, saadaan esimerkiksi seuraavia uusia verrantoja (suureet eivät ole nollia) :

• Kääntämällä: $\frac{B}{A}=\frac{D}{C}$ (käänteisluvut ovat yhtä suuret)
• Vuorottamalla: $\frac{A}{C}=\frac{B}{D}$ (kaikki suureet tulisivat olla samanlaatuisia)
• Yhdistämällä: $\frac{A+B}{B}=\frac{C+D}{D}$ tai $\frac{A+B}{A}=\frac{C+D}{C}$ (molemmille puolille lisätään luku 1)
• Erottamalla: $\frac{A-B}{B}=\frac{C-D}{D}$ tai $\frac{A-B}{A}=\frac{C-D}{C}$ (molemmilta puolilta vähennetään luku 1)

Ratkaistaan suure

Verranto

$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$

on voimassa, jos ja vain jos sen äärimmäisten ja keskimmäisten jäsenen tulot AD ja BC ovat yhtä suuret eli

$AD=BC$

eikä kumpikaan luvuista B ja D ole nolla. Tämä voidaan osoittaa kertomalla (eli laventamalla) verannon molemmat puolet luvulla BD. Tällaista verrannon muuntamista tulojen väliseksi yhtälöksi sanotaan ristiin kertomiseksi. Tästä voidaan edelleen ratkaista yksi suure muiden avulla seuraavasti:

$A=\frac{BC}{D}$ tai $D=\frac{BC}{A}$ tai $B=\frac{AD}{C}$ tai $C=\frac{AD}{B}.$

Keskiverto, kolmas verto ja neljäs verto

Jos on voimassa verranto

$\frac{A}{B}=\frac{B}{C}$

jossa siis molemmat keskimmäiset jäsenet ovat yhtä suuret, sanotaan, että B on lukujen A ja C keskiverto, ja C on lukujen A ja B kolmas verto. Jos taas on voimassa verranto

$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$,

jossa siis keskimmäiset jäsenet eivät välttämättä ole yhtä suuret, sanotaan, että luku D on lukujen A, B ja C neljäs verto.

Katso myös

• Kääntäen verrannollisuus on eräs verrannollisuuden laji.
• Verrannollisuus

Aiheesta muualla

• Malline:Kirjaviite
• Malline:Verkkoviite
• http://planetmath.org/encyclopedia/ProportionEquation.html Malline:Wayback (englanniksi)