Verrannollisuus

Verrannollisuus on matematiikassa ja luonnontieteissä kahden suureen välinen erityinen riippuvuus, jossa kussakin tilanteessa suureiden saamien arvojen suhde pysyy vakiona. Matemaattisesti tämä voidaan ilmaista yhtälöllä. Olkoon suureet A ja B verrannolliset, jolloin niiden arvojen suhde on aina k. Silloin voidaan kirjoittaa

$A:B=\frac{A}{B}=k.$

Tällöin sanotaan, että "suure A on verrannollinen suureeseen B" ja se voidaan lyhentää joko $A\sim B$ tai $A\propto B$.

Edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa myös tulomuodossa

$A=kB.$

Jos suureet A ja B ovat samanlaatuiset eli niillä on samat mittayksiköt, on kerroin k luku ja sitä kutsutaan suhdeluvuksi. On kuitenkin varsin yleistä, että suureet A ja B ovat erilaatuiset, jolloin kerroin k on itsekin suure ja sillä on mittayksikkö. Tällöin suuretta k kutsutaan myös verrannollisuuskertoimeksi.

Verrannolliset suureet, verrannollisuuskerroin ja verranto

Kahden samanlaatuisen (samat mittayksiköt) suureen A ja B suhde merkitään

$A:B=\frac{A}{B}=k.$

Suhde esittää kahta eri tilannetta, jossa verrataan samaa laautua olevia suureita keskenään. Tällainen tilanne on esimerkiksi kahden pinta-alan välinen suhde

$3m^2:6m^2=1:2$

ja kerroin k = 1 : 2 = 0,5 on tällöin paljas luku, koska mittayksiköt supistuvat pois.

Kahden erilaatuisen (eri mittayksiköt) suureiden A ja B suhde merkitään samalla tavalla

$A:B=\frac{A}{B}=k,$

missä kerroin k on mittayksiköllinen suure. Esimerkiksi talon yhden $A=3m^2$ suuruisen seinän maalaamiseen kuluu $B=0,25l$ maalia. Verrannollisuuskertoimeksi saadaan

$\frac{A}{B}=\frac{3m^2}{0,25l}=12\frac{m^2}{l}=k.$

Saman talon toista seinää toisena päivänä maalatessa suureet C ja D ovat erilaiset. Nyt merkitään

$\frac{C}{D}=\frac{6m^2}{0,50l}=12\frac{m^2}{l}=k,$

missä k on edelleen sama, koska maalin kulutus on säilynyt samana. Suhdeluvut ovat samat, joten suureet A ja B sekä C ja D ovat verrannolliset ja tämä merkitään suuren mitatuilla arvoilla

$3m^2\sim 0,25l$ ja $6m^2\sim 0,5l$

tai suureiden muuttujilla

$A\sim B$ ja $C\sim D$

tai suureiden nimillä

$\text{pinta-ala}\sim \text{maalin määrä}.$

Matemaattisesti nämä kaksi suhdetta (maalaustilannetta) voidaan kirjoittaa verrantoyhtälöksi, koska verrannollisuuskertoimet täsmäävät

$\frac{A}{B}=k\wedge \frac{C}{D}=k\Rightarrow \frac{A}{B}=\frac{C}{D}.$

Suoraan verrannollisuus

Suoraan verrannollisuus on toinen nimitys suureiden A ja B verrannollisuudelle, jotka ovat suoraan sellaisinaan toisilleen verrannollisia. Tämä merkitään edelliseen tapaan $A\sim B$ ja verrannollisuuskertoimen sisältävä yhtälö kirjoitetaan $A=kB.$

Toisilleen suoraan verrannolliset suureet ovat esimerkiksi omenien paino m ja niiden hinta h. Silloin verrannollisuuskerroin k on esimerkiksi $k=2,15\frac{E}{kg}$ eli kilohinta ja ostoksen hinta laksetaan yhtälöstä $h=km$.

Kääntäen verrannollisuus

Suureet A ja B ovat kääntäen verrannollisia, jos suureen A käänteisarvo (käänteisluku) on verrannollinen suureeseen B, tai päin vastoin. Tämä merkitään joko $\frac{1}{A}\sim B$ tai $A\sim \frac{1}{B}$ (potenssina $A\sim B^{-1}$), ja yhtälö kirjoitetaan joko $A=k\frac{1}{B}$ (potenssina $A=k{B}^{-1}$) tai $AB=k.$

Toisilleen kääntäen verrannollisia suureita ovat esimerkiksi samaan automatkaan liittyvät keskinopeus v ja ajoaika t. Silloin nopeuden kasvaessa aika lyhyenee ja päinvastoin. Tämä kirjoitetaan $v\sim t^{-1}$. Verrannollisuuskerroin k on silloin $k=100km$ (kilometriä) eli kuljettava matka, kun $v=\frac{k}{t}$.

Neliöön ja kuutioon verrannollisuus

Neliöön verrannolliset suureet voidaan merkitä $A\sim B^2$, jolloin suureet A ja B eivät ole suoraan verrannolliset mutta suureet A ja B² ovat sitä. Näistä muodostettu yhtälö on (suureen positiiviset arvot)

$A=k{B}^2$

joka voidaan muuntaa

$\sqrt{A}=\sqrt{k{B}^2}$ eli $\sqrt{A}=bB,$

missä b² = k. Neliöön verrannollisuus on (lähes) sama kuin neliöjuureen verrannollisuus $\sqrt{A}\sim B.$

Esimerkiksi paikaltaan lähtevän ja tasaisesti kiidyttävän junan liike-energia E on neliöön verrannollinen junan loppunopeuteen v. Verrannollisuuskerroin k on junan massan puolikas, kuten yhtälöstä $E=\frac{1}{2}m{v}^2=k{v}^2$ huomataan.

Kuutioon verrannolliset suureet voidaan merkitä $A\sim B^3$, jolloin suureet A ja B³ ovat suoraan verrannolliset. Näistä muodostettu yhtälö

$A=k{B}^3$

voidaan muuntaa

$\sqrt[3]{A}=bB$

missä b³ = k. Kuutioon verrannollisuus on sama kuin kuutiojuureen verrannollisuus $\sqrt[3]{A}\sim B.$

Esimerkiksi kalastajatroolarin moottorin tehontarve P on kuutioon verrannollinen veneen saavuttamaan huippunopeuteen v. Verrannollisuuskerroin k on esimerkiksi $k=270\frac{kg}{m}$, kun riippuvuus kirjoitetaan yhtälönä $P=k{v}^3$.

Potenssiin verrannollisuus

Yleisesti ilmaistuna suureet A ja B ovat potenssiin verrannolliset, kun $A^n\sim B^m$ eli $A^{\frac{n}{m}}\sim B$ eli $A\sim B^{\frac{m}{n}}$.

Esimerkiksi ympyräradalla Aurinkoa kiertävä planeetta noudattaa Keplerin III lakia. Sen mukaan kiertoajan T neliö on verrannollinen ratasäteen R kuutioon eli $T^2\sim R^3$. Silloin Maan kiertoradan yhtälössä verrannollisuuskerroin k on $k=1\frac{a^2}{A{U}^3}$ ja $T^2=k{R}^3$.

Katso myös

• Korrelaatio ja lineaarinen regressioanalyysi ovat myös luonnontieteellisisiä mallinnusvälineitä.
• Verranto