χ²-jakauma

${\chi }^2$-jakauma on tilastotieteen testeissä käytetty jakauma. Jos satunnaismuuttujat $X_1,\dots ,X_n$ ovat riippumattomia ja standardinormaalijakautuneita, niin niiden neliöiden summa on ${\chi }^2$-jakautunut n:llä vapausasteella. Jos $X=X_1^2+\dots +X_n^2$, on siis

$X\sim {\chi }_n^2.$

Jakauman parametri $n$ on positiivinen kokonaisluku. ${\chi }^2$-jakauma on jatkuva, ja sen arvojoukko on positiivisten reaalilukujen joukko. Tiheysfunktio on arvojoukossa

$f_X(x)=\frac{x^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}}{2^{\frac{n}{2}}\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})},$

jossa $\mathrm{\Gamma }(r)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{r-1}{e}^{-x}dx$ on Eulerin gammafunktio.

Kertymäfunktiota $F_X(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{f}_X(z)dz$ ei voi yleisessä tapauksessa esittää suljetussa muodossa.

Odotusarvo ja varianssi ovat

$\mathrm{E}(X)=n$ ja $\mathrm{Var}(X)=2n.$

${\chi }^2$-jakauma on gammajakauman erikoistapaus:

${\chi }^2=\mathrm{Gamma}(\frac{n}{2},\frac{1}{2}).$

Katso myös

• χ²-testi
• Khii

Aiheesta muualla

• Mathworld: Chi-Squared Distribution
• Mellin, Ilkka Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia