Vektorikimppu

Vektorikimppu on matemaattinen konstruktio, jossa jonkin avaruuden, nk. pohja-avaruuden, pisteisiin liitetään vektoriavaruus. Näiden vektoriavaruuksien oletetaan liittyvän yhteen "jatkuvasti", ts. tarvitaan topologian käsitteistö.

Helpoin esimerkki vektorikimpusta on niin sanottu triviaali vektorikimppu. Olkoon $X$ topologinen avaruus ja $n$ mielivaltainen kokonaisluku. Tällöin voi jokaiseen $X$:n pisteeseen liittää "sama" vektoriavaruus ${ℝ}^n$. Toisin sanoen saadaan aikaan avaruus $X\times {ℝ}^n$. Yleisessä vektorikimpussa tosin vektoriavaruus voi kaareutua. Tästä esimerkkinä on Möbiuksen nauha, jossa pohja-avaruus on yksikköympyrä $S^1$, ja vektoriavaruus on reaalilukujen joukko $ℝ$, joka "käännetään ympäri".

Määritelmä

Olkoon $X,E$ topologisia avaruuksia, ja olkoon $\pi :E\to X$ jatkuva kuvaus. Tällöin pari $(E,\pi )$ on topologinen vektorikimppu, jos nämä toteuttavat seuraavat ominaisuudet .

• Lokaali triviaalisuus: On olemassa avoin peite $\{U_i\}$, joille ${\pi }^{-1}(U_i)\simeq U_i\times {ℝ}^n$ ja ${\pi }^{-1}(x)={ℝ}^n$ kaikille $x\in X$. Eli on olemassa homeomorfismi ${\varphi }_i:{\pi }^{-1}(U_i)\to U_i\times {ℝ}^n$.

• Yhteensopivuus: Translaatiokuvaukset ${\psi }_{ij}={\varphi }_i\circ {\varphi }_j^{-1}:(U_j\cap U_i)\times {ℝ}^n\to (U_j\cap U_i){ℝ}^n$ ovat homeomorfismeja ja lineaarisia ${ℝ}^n$ koordinaatissa. Eli translaatiokuvaukset ovat säiekuvauksia (bundle map).

Avaruus $X$ on pohja-avaruus, ja $E$ on nk. totaaliavaruus. Kuvaus $\pi$ on projektio, ja on esimerkki topologisesta submersiosta. Kokonaisluku $n$ on vektorikimpun ulottuvuus.

Samalla lailla voidaan määritellä sileät vektorikimput, jos pohja- ja totaaliavaruus oletetaan sileiksi monistoiksi. Tällöin oletetaan, että kuvaukset yllä ovat kaikki sileitä. Yleisimmin geometriassa tarkastellaan juuri vektorikimppuja monistoilla.

Säiekuvaukset

Olkoot $(E,{\pi }_E),(F,{\pi }_F)$ topologisia vektorikimppuja, joiden pohja-avaruudet ovat $X,Y$ja ulottuvuudet $n,m$, vastaavasti. Sanomme, että jatkuva kuvaus $f:E\to F$ on säiekuvaus, jos seuraavat kaksi ominaisuutta pätevät:

• Kommutointi: On olemassa kuvaus $g:X\to Y$, jolle $g\circ {\pi }_E={\pi }_F\circ f$.

• Kuvaus on lineaarinen. Tässä kaikilla, $x\in X$, pätee, että $f:{\pi }_E^{-1}(x)\simeq {ℝ}^n\to {\pi }_F^{-1}(g(x))\simeq {ℝ}^m$.

Jos kyseessä on sileä vektorikimppu, niin samalla lailla määrittelemme sileät säiekuvaukset. Jos kuvaus $f$ on homeomorfismi, tai diffeomorfismi, niin sen käänteiskuvaus on myös säiekuvaus ja tällöin vektorikimput ovat isomorfisia.

Sektiot

Sektiot yleistävät vektorikenttiä. Vektorikentät liittävät moniston pisteisiin sen tangenttiavaruuden vektorin, joka euklidisen avaruuden ${ℝ}^n$ tapauksessa voidaan samaistaa avaruuden ${ℝ}^n$ kanssa. Yleisesti ottaen sektio $\sigma :X\to E$ on jatkuva kuvaus, joka liittää jokaiseen pisteeseen $x\in X$ vektorin, joka kuuluu joukkoon ${\pi }^{-1}(x)$, eli

$\pi \circ \sigma =\text{Id},$

missä $\text{Id}$ on identiteettikuvaus. Edelleen voimme määritellä sileät sektiot. Esimerkkinä olkoot nolla-sektio, jossa $\sigma (x)=0\in {ℝ}^n\simeq {\pi }^{-1}(x)\subset E$.