Vastatapahtuma

Vastatapahtuma eli komplementtitapahtuma (Malline:K-en) tai joskus vain vastatapaus on yksi toden­näköisyys­laskennassa perus­käsitteistä. Annetun ­tapahtuman vasta­tapahtumalla tarkoitetaan tilannetta, jossa kyseinen tapahtuma ei toteudu. Jos jonkin tapahtuma todennäköisyys on A, sen vasta­tapahtuman toden­näköisyys on 1 – A.

Joukko-opillinen määritelmä

Jokainen kysymykseen tuleva tapahtuma, jolle toden­näköisyys voidaan määrittää, koostuu tietystä joukosta satunnaisilmiön alkeis­tapauksia, ja vastatapahtuma muodostuu satunnaisilmiön perusjoukon kaikista muista alkeistapauksista. Tapahtuman $A$ vastatapahtumaa merkitään yleensä $\overline{A}$ , $A^{\prime }$, $A^c$ tai $C^A$ .

Vastatapahtuma voidaan merkitä joukko-opin käsittein $\overline{A}=\mathrm{\Omega }\setminus A.$ Määritelmä tekee tapahtumasta ja vastatapahtumasta erilliset tapahtumat.

Esimerkkejä

Tapahtuman alkeistapauksia voidaan kohdella joukon alkioina. Joukot, jotka jakavat perusjoukon kahteen osaan, ovat toisilleen komplementit joukot. Joukon $A$komplementtijoukko $A^c$ määritellään $A^c:=\{\omega \in \mathrm{\Omega };\omega \notin A\}.$ Jos tapahtuma on tyhjä joukko, on sen vastatapahtuma perusjoukko, ja päinvastoin: ${\mathrm{\Omega }}^c=\mathrm{\varnothing }$ ja vastaavasti ${\mathrm{\varnothing }}^c=\mathrm{\Omega }.$ Nopanheitossa tapahtuman "vähintään nelonen" vastatapahtuma olisi "korkeintaan kolmonen" eli $\{1,2,3\}.$ Tapahtuma ja vastatapahtuma muodostavatkin yhdessä perusjoukon: $\{1,2,3\}\cup \{4,5,6\}=\{1,2,3,4,5,6\}$ luonnollisella tavalla.

Komplementtisääntö

Todennäköisyys, että alkeistapaus $\omega$ kuuluu perusjoukkoon $\mathrm{\Omega }$ on yksi. Samasta syystä voidaan sanoa, että alkeistapaus kuuluu varmuudella aina tapahtumaan tai vastatapahtumaan, sillä perusjoukko muodostuu niistä. Silloin on

$P(A\text{ tai }\overline{A})=P(A\cup \overline{A})=P(A)+P(\overline{A})=1.$

Silloin vastatapahtuman $\overline{A}$ todennäköisyys on

$P(\overline{A})=1-P(A).$ (komplementtisääntö)