Välin jako

Välin jako tarkoittaa matematiikassa lukuvälin pilkkomista pienempiin väleihin. Jako on joukko niistä pisteistä, joissa väli katkaistaan. Esimerkiksi väli $[1,5]$ voitaisiin jakaa osaväleihin $[1,4]$ ja $[4,5]$. Välin jako olisi tällöin $P=\{1,4,5\}$.

Reaaliakselin välin jako

Välin $[a,b]\subset ℝ$ jako $P$ on pistejono $x_0,x_1,\dots ,x_n$, missä $a=x_0<x_1<\dots <x_{n-1}<x_n=b$. Jako $P$ jakaa välin $[a,b]$ kompakteihin osaväleihin $[x_{k-1},x_k],k=1,\dots ,q$, missä $x_0=a<x_1<\dots <x_{q-1}<x_q=b$.

Jakoa käytetään Riemann-integraalin määrittelyssä.

Avaruuden välin jako ja osavälijako

Välin $I=[a_1,b_1]\times \dots \times [a_m,b_m]\subset {ℝ}^m$ jako $P$ on karteesinen tulojoukko

$P=P^{(1)}\times \dots \times P^{(m)}$,

missä $P^{(j)}$ on komponenttivälin $I^{(j)}=[a_j,b_j]$ jako $q_j$:een kompaktiin osaväliin, kun $j=1,\dots ,m$. $P$ jakaa välin $I$ yhteensä $q_1\cdot q_2\cdots q_m$:ään kompaktiin osaväliin. Jos näitä osavälejä merkitään $I_{\alpha }$:lla, missä $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)$ ja ${\alpha }_j=1,\dots ,q_j$, niin väli $I$ voidaan kirjoittaa osavälijakonsa avulla:

$I=\bigcup _{\alpha }{I}_{\alpha }=\bigcup _{{\alpha }_1=1}^{q_1}\dots \bigcup _{{\alpha }_m=1}^{q_m}{I}_{({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)}$

Jaon hienonnus

Jako $P^{\prime }$ on jaon $P$ hienonnus eli alijako, mikäli $P\subset P^{\prime }$. Tällöin sanotaan myös, että jako $P^{\prime }$ on hienompi kuin jako $P$, ja jako $P$ on karkeampi kuin jako $P^{\prime }$. Hienonnus tarkoittaa siis "tiheämpää" jakoa, johon kuuluvat myös karheamman eli "harvemman" jaon alkiot. Esimerkin jakoa P voisi hienontaa vaikka lisäämällä jakoon luvut 2 ja 3: $P^{\prime }=\{1,2,3,4,5\}$.

Kahden jaon $P^{\prime }$ ja $P^{″}$ yhdiste $P=P^{\prime }\cup P^{″}$ on molempien jakojen yhteinen hienonnus.

Kirjallisuutta

• Malline:Verkkoviite