Tulotopologia

Tulotopologia on kahden tai useamman topologisen avaruuden karteesiselle tulolle määritelty topologia.

Avaruuksien karteesisen tulon topologia voidaan muodostaa ainakin kahdella melko luonnollisella tavalla kerrottavien avaruuksien topologioista. Näitä kutsutaan laatikko- ja tulotopologiaksi. Nämä eroavat toisistaan, jos kerrottavia joukkoja on äärettömän monta; äärellisessä tapauksessa eroa ei ole.

Määritelmä

Olkoon X karteesinen tulo indeksijoukon I yli:

$X:=\prod _{i\in I}{X}_i,$

Joukon X tulotopologia on projektioiden P_i: X -> X_i indusoima topologia.

Tulotopologian kannan muodostavat joukot $\prod U_i$, jossa jokainen U_i on avoin joukossa X_i ja U_i ≠ X_i vain äärellisen monta kertaa.

Avaruuksien tulotopologia on karkein niistä X:n topologioista, joissa jokainen projektio P_j on jatkuva.

Tulotopologia ja laatikkotopologia

Topologisten avaruuksien karteesiselle tulolle voidaan määritellä toinenkin luonnolliselta vaikuttava topologia valitsemalla kannaksi joukot $\prod U_i$, missä U_j on mielivaltainen X_j:n avoin osajoukko. Tällä tavoin saadaan laatikkotopologia, joka ei ole kuitenkaan osoittautunut kovin merkitykselliseksi.

Jos edellä indeksijoukko I on äärellinen eli karteesinen tulo muodostetaan vain äärellisestä määrästä avaruuksia, ei edellä mainitulla kohdalla "äärellisen monta" ole merkitystä. Tämän vuoksi laatikko- ja tulotopologia eivät eroa toisistaan äärellisten tulojen tapauksessa.

Esimerkkejä

Kerrotaan kaksi Sierpińskin avaruutta keskenään. Nimetään selkeyden vuoksi toisen alkiot $a$ ja $b$, toisen $0$ ja $1$, jolloin topologiat ovat $\{\varnothing ,\{a\},\{a,b\}\}$ ja vastaavasti $\{\varnothing ,\{0\},\{0,1\}\}$. Avaruuden kannaksi tulee $\{\{(a,0)\},\{(a,0),(a,1)\},\{(a,0),(b,0)\}\}$, ja avaruuteen tulee (koko joukon ja tyhjän joukon lisäksi) vielä näistä unioni $\{(a,0),(a,1),(b,0)\}$.

Reaalilukujen, joille on määritelty tavanomainen topologia, äärellinen tulo tuottaa tavanomaisen euklidisen topologian joukolle Rⁿ.

Tavallisella topologialla varustettujen reaalilukujen numeroituvasti äärettömässä tulossa ${𝐑}^{𝐍}$ avoin ei ole esimerkiksi jono $(]0,1[,]0,1[,]0,1[\mathrm{...})$. Sen sijaan $(]0,1[,]0,1[,𝐑,𝐑,𝐑,\mathrm{...})$ on avoin.

Ominaisuuksia

• Erotteluaksioomat
  • T₀-avaruuksien tulo on T₀-avaruus.
  • T₁-avaruuksien tulo on T₁-avaruus.
  • T₂-avaruuksien (eli Hausdorffin avaruuksien) tulo on T₂-avaruus.