Trigonometriset integraalit

Malline:LähteetönTrigonometriset integraalit ovat joukko trigonometrisia funktioita sisältäviä integraaleja, joita ei voida lausua alkeisfunktioiden avulla ja siksi niitä pidetään omina funktioinaan.

Sini-integraali

Sini-integraali

Sini-integraali (engl. sine integral) määritellään

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt$.

Tätä funktiota vastaava Taylorin sarjakehitelmä on

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)=\frac{x}{1\cdot 1!}-\frac{x^3}{3\cdot 3!}+\frac{x^5}{5\cdot 5!}-\frac{x^7}{7\cdot 7!}+\dots =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)(2k+1)!}{x}^{2k+1}$,

missä $!$ tarkoittaa kertomaa. Sini-integraali on pariton funktio, sillä

$\mathrm{S}\mathrm{i}(-x)=-\mathrm{S}\mathrm{i}(x)$.

Kosini-integraali

Kosini-integraali

Kosini-integraali (engl. cosine integral) muistuttaa jonkin verran edellistä:

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos t}{t}dt$.

Tämä voidaan kirjoittaa myös integraalina nollasta $x$:ään

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=-\gamma -\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}dt$,

missä $\gamma$ on Eulerin–Mascheronin vakio ja arvoltaan likimain 0,57721. Kosini-integraalifunktiota ei vastaa varsinainen Taylorin sarja, mutta jälkimmäisen esitysmuodon integraalille voidaan kirjoittaa sarjakehitelmä

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=-\gamma -\ln x+\frac{x^2}{2\cdot 2!}-\frac{x^4}{4\cdot 4!}+\frac{x^6}{6\cdot 6!}-\frac{x^8}{8\cdot 8!}+\dots =\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{2k(2k)!}$.

Katso myös

• eksponentti-integraali
• sinc-funktio

Kirjallisuutta

• Malline:Kirjaviite

Aiheesta muualla

• Mathworld: Sini-integraali Malline:En
• Mathworld: Kosini-integraali Malline:En