Todennäköisyydet generoiva funktio

Todennäköisyydet generoiva funktio (lyhennetään joskus tgf) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumasta määritelty funktio, jonka avulla voidaan laskea jakauman todennäköisyyksiä ja tekijämomentteja.

Todennäköisyydet generoiva funktio voidaan määritellä sekä diskreeteille- että jatkuville satunnaismuuttujille. Se on kuitenkin käytännöllisempi diskreeteille satunnaismuuttujille, jonka tuloksia esitellään tässä.

Määritelmä

Todennäköisyydet generoiva funktio on odotusarvo

$G(t)=E(t^X).$

Diskreetti satunnaismuuttuja

Diskreetille satunnaismuuttujalle generoiva funktio on potenssisarja

$G(t)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}f(x_i)t^{x_i},$

jonka eri asteisten potenssien kertoimet ovat pistetodennäköisyysfunktion arvoja eri satunnaismuuttujan $X$ arvoille $x_i$. Muuttuja $t$ on usein reaaliluku, mutta se voi olla myös kompleksiluku, sillä kaikki tarvittavat matemaattiset ominaisuudet periytyvät myös sille. Laittamalla muuttujan $t$ arvoksi nolla, voidaan funktion derivaatoista poimia esille todennäköisyydet ja arvolla yksi, laskea niistä erilaisia summia.

Potenssisarja suppenee yleisesti reaaliluvuilla vain, jos $-1<t<1$. Siten arvo $t=0$ on sallittu arvo. Sen sijaan arvo $t=1$ ei välttämättä käy, sillä sarja ei silloin suppene yleisessä tapauksessa. Potenssisarjalla saattaa kuitenkin olla olemassa sarjan raja-arvo, kun ykköstä lähestytään vasemmalta päin. Jos näin on, niin raja-arvoa voidaan ilmaista miinus-merkillä

$\underset{t\to 1-}{\lim }G(t)=G(1-).$

Todennäköisyyslaskennassa alueen voi laajentaa $-1\le t\le 1$, sillä summassa olevien todennäköisyyksien summa on aina yksi. Monissa teksteissä $G(1-)$ merkitään siksi $G(1)$. Merkintää sovelletaan tässä myös derivaatoille.

Jatkuva satunnaismuuttuja

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle generoiva funktio määritetään

$G(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^x{f}_X(x)dx.$

Ominaisuuksia

Funktion arvo: G(0)

Yleisessä tapauksessa, missä $X=\{x_0,x_1,x_2,\dots \}$, saadaan

$G(0)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}f(x_i)\cdot 0^{x_i}=0.$

Erityistapauksessa, jossa $Y=\{i|i=0,1,2,3\dots \}=\{0,1,2,3,\dots \}$ ja niiden todennäköisyydet vastaavasti $f(x_i)=f_i=p_i=P(X=i)$, tulee generoivasta funktiosta

$G(t)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_i\cdot t^{y_i}=p_0{t}^0+p_1{t}^1+p_2{t}^2+\dots ,$

josta saadaan

$G(0)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_i\cdot 0^{y_i}=p_0,$

kunhan $\underset{t\to 0}{\lim }{p}_0\cdot t^{y_0}=\underset{t\to 0}{\lim }{p}_0\cdot t^0=p_0.$

Funktion arvo: G(1-)

Yleisessä tapauksessa, missä $X=\{x_0,x_1,x_2,\dots \}$, saadaan

$G(1-)=\underset{t\to 1-}{\lim }G(t)=\underset{t\to 1-}{\lim }(\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}f(x_i)\cdot t^{x_i})=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}f(x_i)\cdot 1^{x_i}=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}f(x_i)=1,$

sillä satunnaismuuttujan kaikkien arvojen todennäköisyyksien summa on aina yksi.

Riippumattomat satunnaismuuttujat

Jos muodostetaan uusi satunnaismuuttuja $Y$ kahdesta riippumattomasta satunnaismuuttujasta $X_1$ ja $X_2$ merkitsemällä $Y=X_1+X_2$, voidaan uusi generoiva funktio muodostaa vanhojen avulla

$G_Y(t)=G_{X_1}(t)G_{X_2}(t).$

Momentit generoiva funktio

Satunnaismuuttujan momentit generoiva funktio on odotusarvo

$M(t)=E[e^{tX}].$

Momenttifunktio voidaan kirjoittaa todennäköisyydet generoivan funktion avulla

$M(t)=G(e^t).$

Tekijämomentit

Sarjan derivointi suoritetaan jokaiselle sarjan termille yksittäin seuraavasti:

$G(t)=E(t^X)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}f(x_i)t^{x_i}$

$G^{\prime }(t)=D(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}f(x_i)t^{x_i})=x_{1}f(x_1)t^{x_1-1}+x_{2}f(x_2)t^{x_2-1}+x_{3}f(x_3)t^{x_3-1}+\dots$

$G^{″}(t)=D^2(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}f(x_i)t^{x_i})=x_1(x_1-1)f(x_1)t^{x_1-2}+x_2(x_2-1)f(x_2)t^{x_2-2}+x_3(x_3-1)f(x_3)t^{x_3-2}+\dots$

Ensimmäisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa

$G^{\prime }(t)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_{i}f(x_i)t^{x_i-1}$

ja sen arvo ykkösessä antaa

$G^{\prime }(1-)=\underset{t\to 1-}{\lim }G(t)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_{i}f(x_i)1^{x_i-1}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_{i}f(x_i)=E[X]$

eli tuloksena on satunnaismuuttujan odotusarvo. Toisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa

$G^{″}(t)=G^{(2)}(t)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i(x_i-1)f(x_i)t^{x_i-2}$

ja sen arvo ykkösessä on

$G^{″}(1-)=\underset{t\to 1-}{\lim }{G}^{(2)}(t)=\underset{t\to 1-}{\lim }(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i(x_i-1)f(x_i)t^{x_i-2})$

$=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i(x_i-1)f(x_i)1^{x_i-2}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i(x_i-1)f(x_i)=E[X(X-1)]$

eli satunnaismuuttujan toinen tekijämomentti. Odotusarvo voidaan tulkita siten ensimmäiseksi tekijämomentiksi. Yleisesti, kun on otettu r:s derivaatta, saadaan

$G^{(r)}(1)=E[X^{(r)}]=E[X(X-1)(X-2)\dots (X-r+1)]$

eli r:s tekijämomentti.

Todennäköisyysarvot

Erityistapauksessa, jossa $Y=\{0,1,2,3,\dots \}$ ja niiden todennäköisyydet vastaavasti $f(x_i)=p_i=P(Y=i)$, saadaan derivaatoista määritetty pistetodennäköisyydet $p_i$. Generoiva funktio on nyt

$G(t)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{p}_i\cdot t^{y_i}=p_0{t}^0+p_1{t}^1+p_2{t}^2+\dots$

ja sen ensimmäinen derivaatta on

$G^{\prime }(t)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_i{p}_i{t}^{y_i-1}=0\cdot p_0{t}^{-1}+1\cdot p_1{t}^0+2p_2{t}^1+3p_3{t}^2\dots =p_1{t}^0+2p_2{t}^1+3p_3{t}^2+\dots .$

Sijoittamalla siihen $t=0$ saadaan

$G^{\prime }(0)=p_1{0}^0+2p_2{0}^1+3p_3{0}^2+\dots =p_1,$

kun tilanteessa "$0^0$" huomataan $\underset{t\to 0}{\lim }{t}^0=1.$ Toinen derivaatta antaa

$G^{″}(t)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_i(y_i-1)p_i{t}^{y_i-2}=1\cdot 0\cdot p_1{t}^{-1}+2\cdot 1p_2{t}^0+3\cdot 2p_3{t}^1+4\cdot 3p_4{t}^3+\dots =2p_2{t}^0+6p_3{t}^1+12p_4{t}^2+\dots$

ja sijoittamalla taas $t=0$ saadaan

$G^{″}(0)=2p_2{0}^0+6p_3{0}^1+12p_4{0}^2+\dots =2p_2.$

Pienellä päättelyllä saadaan todennäköisyydet laskettua

$p_k=\frac{G^{(k)}(0)}{k!}.$

Tästä lausekkeesta voidaan ymmärtää funktion nimi: todennäköisyydet generoiva funktio.

Esimerkki: noppa

Noppapeleissä käytetään arpakuutiota, jolla arvotaan kuusi lukua 1−6 ja jonka eri lukujen todennäköisyydet ovat yhtä todennäköisiä (eli noppa antaa luvun $i$ todennäköisyydellä $P(X=i)=\frac{1}{6}$. Muodostetaan todennäköisyydet generoiva funktio

$G(t)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}f(x_i)t^{x_i}=P(X=1)t^1+P(X=2)t^2+P(X=3)t^3+P(X=4)t^4+\dots ,$

jolla on ominaisuus

$G(1)=\frac{1}{6}\cdot 1^1+\frac{1}{6}\cdot 1^2+\frac{1}{6}\cdot 1^3+\frac{1}{6}\cdot 1^4+\dots =\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+0+0+\dots =1$

eli todennäköisyyksien summa on yksi.

Koska todennäköisyydet ovat samat ja muualla nolla, on sarja itse asiassa summa:

$G(t)=\frac{1}{6}{t}^1+\frac{1}{6}{t}^2+\frac{1}{6}{t}^3+\frac{1}{6}{t}^4+\frac{1}{6}{t}^5+\frac{1}{6}{t}^6$

$=\frac{1}{6}(t^1+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6).$

Tekijämomentit ja varianssi

Derivaatta kohdassa yksi on

$G^{\prime }(t)=1\cdot P(X=1)+2P(X=2)t^1+3P(X=3)t^2+4P(X=4)t^3+\dots$

ja

$G^{\prime }(1)=1\cdot P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)+\dots$

$=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{1}{6}+4\cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}+0+0+\dots =\frac{7}{2}=E[X].$ (odotusarvo)

Toinen derivaatta kohdassa yksi on

$G^{″}(t)=2\cdot 1P(X=2)t^0+3\cdot 2P(X=3)t^1+4\cdot 3P(X=4)t^2+\dots$

ja

$G^{″}(1)=2\cdot 1\cdot \frac{1}{6}+3\cdot 2\cdot \frac{1}{6}+4\cdot 3\cdot \frac{1}{6}+\dots =\frac{35}{3}=E[X(X-1)].$ (ensimmäinen tekijämomentti)

Huomaa, miten saadaan varianssi näistä kahdesta tuloksesta

$G^{″}(1)+G^{\prime }(1)-(G^{\prime }(1){)}^2=\frac{35}{3}+\frac{7}{2}-{\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{35}{12}=Var(X).$

Aiheesta muualla

• Cut the Knot's: Probability generating functions