Tekijäryhmä

Ryhmäteoriassa tekijäryhmä on tunnetusta ryhmästä $G$ ja sen normaalista aliryhmästä $N$ konstruoitu uusi ryhmä. Tekijäryhmälle käytetään yleensä merkintää $G/N$ ja tätä kutsutaan ryhmän $G$ tekijäryhmäksi modulo $N$.

Tekijäryhmien merkitys ryhmäteoriassa perustuu siihen, että useat hyödylliset ryhmäteoreettiset ominaisuudet säilyvät siirryttäessä tarkastelemaan tekijäryhmiä. Toisaalta tekijäryhmän rakenne antaa myös tietoa alkuperäisen ryhmän rakenteesta. Esimerkiksi äärellisten ryhmien teoriassa usein käytetty todistustekniikka perustuu induktioon ryhmän kertaluvun suhteen. Tällöin tutkittavalle ryhmälle pyritään löytämään sopiva tekijäryhmä, johon induktio-oletusta voitaisiin soveltaa ja josta ominaisuus pyritään siirtämään takaisin alkuperäiseen ryhmään.

Konstruktio

Olkoon $(G,*)$ ryhmä ja $N$ sen aliryhmä. Määritellään aliryhmän $N$ vasempien sivuluokkien joukolle

$G/N=\{aN|a\in G\}$

relaatio $\star$ seuraavasti:

$(aN)\star (bN)=(a*b)N$ kaikilla $a,b\in G.$

Tutkitaan milloin kyseessä on funktio tarkastelemalla milloin kuva-alkio ei riipu sivuluokkien edustajien valinnasta. Olkoon $aN=xN$ ja $bN=yN$ mielivaltaisilla $a,b,x,y\in G.$ Tällöin

$a*x^{-1}\in N$ ja $b^{-1}*y\in N.$

Nyt

$(aN)\star (bN)=(a*b)N=(x*y)N=(xN)\star (yN)$

jos ja vain jos

$(a*b)*(x*y{)}^{-1}=a*b*y^{-1}*x^{-1}\in aN{x}^{-1}=N(a*x^{-1})=N.$

Yllä oleva yhtälö pätee täsmälleen silloin, kun $aN=Na.$ Koska alkio $a\in G$ oli mielivaltainen, niin relaatio $\star$ on funktio täsmälleen silloin, kun aliryhmä $N$ on normaali eli $aN=Na$ kaikilla $a\in G$. Tällöin aliryhmän vasemmat ja oikeat sivuluokat ovat samat, jolloin joukko $G/N$ on myös oikeiden sivuluokkien joukko. Suoraan määritelmästä nähdään, että joukko $N$ on binäärioperaation neutraalialkio, alkion $aN\in G/N$ käänteisalkio on alkio $a^{-1}N$ ja että operaatio on assosiatiivinen. Siis pari $(G/N,\star )$ on ryhmä.

Toinen konstruktio

Olkoon joukot $X,Y$ ryhmän $G$ alkioiden ei-tyhjiä osajoukkoja. Määritellään joukkojen $X$ ja $Y$ tulo joukkona

$XY=\{xy|x\in X,y\in Y\}.$

Tämä tulo määrittelee nyt assosiatiivisen binäärioperaation ryhmän $G$ alkioiden ei-tyhjien osajoukkojen joukolle. Jos $N⊲G$ ja $a,b\in G$, niin

$(aN)(bN)=a(Nb)N=a(bN)N=abN$

eli kahden vasemman sivuluokan tulo on vasen sivuluokka. Täten joukolle $G/N$ voidaan määritellä assosiatiivinen binäärioperaatio joukkojen tulon avulla. Kuten aikaisemmassakin esimerkissä, niin tämän binäärioperaation neutraalialkio on joukko $N$ ja alkion $aN\in G/N$ käänteisalkio on sivuluokka $a^{-1}N.$

Esimerkki

Kokonaisluvut $\mathbb{Z}$ muodostavat ryhmän yhteenlaskun suhteen. Olkoon $n$ mielivaltainen kokonaisluku ja joukko

$n\mathbb{Z}=\{nk|k\in \mathbb{Z}\}$

luvun $n$ monikertojen joukko. Tällöin aliryhmäkriteerin nojalla $n\mathbb{Z}\le \mathbb{Z}$ ja koska kyseessä on Abelin ryhmä, niin $n\mathbb{Z}⊲\mathbb{Z}.$ Nyt tekijäryhmä $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ on kertalukua $n$ oleva syklinen ryhmä, jota kutsutaan kokonaislukujen yhteenlaskuryhmäksi modulo $n.$

Ominaisuuksia

• Kuvausta $f:G\to G/N,f(x)=xN$ kutsutaan luonnolliseksi homomorfiaksi. Kuvaus $f$ on surjektio ja sen ydin on sivuluokka $N$. Täten $G/\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)=G/N=\mathrm{i}\mathrm{m}(f),$ mikä on eräs erikoistapaus homomorfismien peruslauseesta. Tämä osoittaa myös, että ryhmän $G$ aliryhmä $N$ on normaali jos ja vain jos on olemassa sellainen ryhmä $H$ ja sellainen homomorfismi $f:G\to H$, että aliryhmä $N$ on ryhmän homomorfismin $f$ ydin.
• Jokaisella ryhmällä $G$ on triviaalit tekijäryhmät $G/\{1\}\cong G$ ja $G/G\cong \{1\}.$
• Mikäli normaalilla aliryhmällä $N$ on äärellinen määrä sivuluokkia ryhmässä $G$, niin tekijäryhmän $G/N$ kertaluku on sivuluokkien lukumäärä eli Lagrangen indeksilauseen nojalla

$|G/N|=\frac{\left|G\right|}{\left|N\right|}.$

• Syklisen ryhmän jokainen tekijäryhmä on syklinen.
• Abelin ryhmän jokainen tekijäryhmä on Abelin ryhmä.
• Nilpotentin ryhmän jokainen tekijäryhmä on nilpotentti.
• Ratkeavan ryhmän jokainen tekijäryhmä on ratkeava.
• Derivaattaryhmä $G^{\prime }\le N$ jos ja vain jos $N⊲G$ ja tekijäryhmä $G/N$ on Abelin ryhmä. Täten derivaattaryhmä on suppein normaaleista aliryhmistä, joiden tekijäryhmä kommutoi.
• Jos $N⊲G,$ niin $H/N\le G/N$ jos ja vain jos $N\le H\le G.$ Tällöin lisäksi $H/N⊲G/N$ jos ja vain jos $H⊲G.$
• Ryhmällä voi olla tekijäryhmiä, jotka eivät ole isomorfisia minkään aliryhmän kanssa. Toisaalta esimerkiksi jos $N⊲G$ ja on olemassa sellainen $H\le G$, että $G=NH$ ja $N\cap H=\{1\},$ niin

$G/N\cong H.$