Tasajakauma

Malline:Todennäköisyysjakauma Tasajakauma eli tasainen jakauma on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jossa jokainen perusjoukon eli määrittelyjoukon arvo esiintyy yhtä todennäköisesti. Tasajakaumaa merkitään usein

$X\sim \mathrm{Tas}(a,b)$ $\sim \mathrm{Unif}(a,b)$ $\sim \mathrm{U}(a,b),$

missä ensimmäistä näistä käytetään vain suomenkielisessä tekstissä. Parametrit $a$ ja $b$ rajaavat perusjoukon suljetun välin eli rajaavat ne luvut, joita satunnaismuuttuja satunnaisesti antaa. Tasajakaumalla on sellainen ainutlaatuinen ominaisuus, että tapahtuman $P(c\le X\le d)$ (missä on a < c < d < b) todennäköisyys riippuu vain välien [a,b] ja [c,d] pituuksien suhteista. Usein sanotaan myös, että satunnaismuuttuja saa arvoja satunnaisesti väliltä [a,b].

Tasajakaumaa käytetään useimmiten sellaisten tapahtumien mallintamiseen, jossa yksidimensioisen muuttujan (aika, paikka, väli ja niin edelleen) arvot voidaan ajatella esiintyvän yhtä yleisesti. Suomalaisessa lukio-opetuksessa geometristä todennäköisyyttä hyödyntävät tehtävät ovat tasan jakaantuneita. Tietokoneen satunnaislukugeneraattoria (proceduurin nimi $rnd$) simuloidaan $\mathrm{Tas}(0,1)-$jakautuneen satunnaismuuttujan arvoja. Satunnaislukugeneraattorin luvuilla simuloidaan sitten muitakin tasajakaumia, kun lausekkeeksi kirjoitetaan $(b-a)\cdot rnd+a$.

Todennäköisyysjakauma

Jakauman parametrit $a,b\in ℝ$ toteuttavat ehdon $a<b$, jolloin jakauman perusjoukko on suljettu väli $[a,b]$.

Tiheysfunktio saa perusjoukossa vakioarvot

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{b-a}& \text{kun }x\in [a,b]\\ 0& \text{kun }x\notin [a,b]\end{array},$

ja muualla arvon nolla.

Kertymäfunktio on

$F_X(x)=P(X\le x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{kun }x<a\\ \frac{x-a}{b-a}& \text{kun }x\in [a,b]\\ 1& \text{kun }x>b\end{array}$

Tunnusluvut ja momentit

Momenttifunktio

Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä

$M(t)=E(e^{tX})=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}{f}_X(x)\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{tx}\frac{1}{b-a}\mathrm{d}x$

$=\frac{1}{t(b-a)}\underset{a}{\overset{b}{\int }}t{e}^{tx}\mathrm{d}x=\frac{e^{bt}-e^{at}}{t(b-a)}.$

Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Momenttifunktio ei ole määritelty origossa, mutta sen määrittelyalue laajennetaan sinnekin asettamalla $M(0)=1.$ Momentit joudutaan määrittämään raja-arvoina.

Ensimmäiset origomomentit ovat

$\mu =E(X)=\underset{t\to 0}{\lim }{M}^{\prime }(t)=\frac{1}{2}(a+b)$

${\mu }_2=E(X^2)=\frac{1}{3}(a^2+ab+b^2)$

${\mu }_3=E(X^3)=\frac{1}{4}(a+b)(a^2+b^2)$

${\mu }_4=E(X^4)=\frac{1}{5}(a^4+a^{3}b+a^2{b}^2+a{b}^3+b^4)$

ja niiden yleinen termi on

${\mu }_n=E(X^n)=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}.$

Keskusmomenttien yleinen muoto on

$\mu {\text{'}}_n=E((X-\mu {)}^n)=\frac{(a-b{)}^n+(b-a{)}^n}{2^{n+1}(n+1)}.$

Tunnuslukuja

Jakauman odotusarvo saadaan ensimmäisestä origomomentista

$\mu =\mathrm{E}(X)=\frac{1}{2}(a+b).$

Sen varianssi on taas suoraan toinen keskusmomentti

$\mu {\text{'}}_2=\mathrm{Var}(X)={\sigma }^2=\frac{1}{12}(b-a{)}^2.$

Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla

$g_1=\frac{\mu {\text{'}}_3}{{{\mu }^{\prime }}_2^{3/2}}=\frac{0}{{{\mu }^{\prime }}_2^{3/2}}=0.$

Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.

Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla

${\gamma }_2=\frac{{{\mu }^{\prime }}_4}{{{\mu }^{\prime }}_2^2}-3=-\frac{5}{6}.$

Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.

Muut jakaumat

Beta-jakauma $\beta (1,1)$ vastaa tasaista jakaumaa.

Tasajakauman universaalisuuslauseen mukaan jokainen jatkuva todennäköisyysjakauma voidaan muuttujan vaihdolla muuntaa noudattamaan yksikkötasajakaumaa.