Tasainen jatkuvuus

Tasainen jatkuvuus on matemaattisen analyysin käsite. Karkeasti ilmaistuna tasainen jatkuvuus tarkoittaa sitä, että pientä muutosta x:ssä vastaa pieni muutos funktion arvossa f(x), ja tämän muutoksen suuruus riippuu vain x:n muutoksen suuruudesta, mutta ei itse pisteestä x.

Funktion jatkuvuus on paikallinen ominaisuus: funktio f on jatkuva (tai epäjatkuva) tietyssä pisteessä. Jos funktion sanotaan olevan jatkuva jollakin välillä, sen tarkoitetaan olevan jatkuva jokaisessa välin pisteessä. Sitä vastoin tasainen jatkuvuus on funktion globaali ominaisuus: se on määritelty joukossa, ei pisteessä. Funktio voi olla jatkuva jokaisessa välin pisteessä olematta kuitenkaan tasaisesti jatkuva tällä välillä.

Määritelmä

Olkoon D R:n osajoukko, $D\subseteq ℝ$.

Kuvaus $f:D\to ℝ$ on tasaisesti jatkuva jos ja vain jos

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in D:|x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$.

Tärkeää on, että toisin kuin tavallisen jatkuvuuden määrittelyssä δ riippuu ainoastaan ε:sta.

Yleistys metrisiin avaruuksiin

Määritelmä yleistyy metrisiin avaruuksiin seuraavasti:

Olkoot (X, d_x) ja (Y, d_y) metrisiä avaruuksia. Kuvaus $f:X\to Y$ on tasaisesti jatkuva, jos kaikille reaaliluvuille ε > 0 on olemassa luku δ > 0 siten, että kaikkien joukon X pisteiden x₁ ja x₂, joiden välinen etäisyys on pienempi kuin δ, kuvapisteiden etäisyys toisistaan on pienempi kuin ε, toisin sanoen

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X:d_x(x_1,x_2)<\delta \Rightarrow d_y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon$

Ominaisuuksia

Jokainen tasaisesti jatkuva funktio on jatkuva, mutta käänteisesti väite ei päde. Esimerkiksi funktio f(x) = 1/x, jonka lähtöjoukko on positiivisten reaalilukujen joukko, on jatkuva mutta ei tasaisesti jatkuva, sillä kun x lähestyy nollaa, muutokset arvossa f(x) kasvavat rajatta.

Todistus

Olkoon $y>0$. Tällöin $|y-\frac{y}{2}|=\frac{y}{2}\to 0$, kun $y\to 0$ ja $|\frac{1}{y}-\frac{1}{\left(\frac{y}{2}\right)}|=|\frac{1}{y}-\frac{2}{y}|=$ $\frac{1}{y}\to \mathrm{\infty }$, kun $y\to 0$. Täten valittiinpa $\delta >0$ miten pieneksi tahansa, niin silti löydetään luvut $y>0$ ja $\frac{y}{2}>0$, joilla $|y-\frac{y}{2}|<\delta$ ja joilla $|\frac{1}{y}-\frac{1}{\left(\frac{y}{2}\right)}|$ saadaan mielivaltaisen suureksi. Siispä $f(x)=\frac{1}{x}$ ei ole tasaisesti jatkuva. $◻$

Kuitenkin jos funktio on jatkuva jokaisessa kompaktin välin pisteessä, se on tasaisesti jatkuva tällä välillä.