Tšebotarevin tiheyslause

Olkoon $L/K$ $K$:n Galois'n laajennus Galois'n ryhmänään $G$. Asetetaan kaikille $K$:n alkuideaaleille $𝔭$, jotka ovat haarautumattomia $L$:ssä, $(𝔭,L/K):=\{(𝔓,L/K)|𝔓|𝔭\}$. Tämä on $G$:n konjugaattiluokka.

Tšebotarevin tiheyslause: Olkoon $L/K$ lukukuntien äärellinen laajennus Galois'n ryhmänään $G$ ja olkoon $C$ $G$:n konjugaattiluokka. Tällöin niiden $K$:n alkuideaalien joukko, jolle $(𝔭,L/K)=C$, on Dirichlet'n tiheys $|C|/|G|$ kaikkien $K$:n alkuideaalien joukossa. Erityisesti jos $G$ on Abelin ryhmä, kaikilla kiinnitetyillä $\tau \in G$, joukon $K$ niiden alkuideaalien $𝔭$ joukolla, jolle $(𝔭,L/K)=\tau$, on tiheys $(G:1)$.

Lause todistetaan yleensä luokkakuntateorian avulla, mutta lauseelle on esitetty myös alkeellisia todistuksia (Fried, Jarden:Field Arithmetic) samoin kuin algebralliseen lukuteoriaan perustuva todistus (Schoof: Catalan's Conjecture).

Lähteet

• Milne, J. S.: Class field theory.